Почему теории кажутся подозрительными 2: Шулерский манёвр
Первая часть
В самой основе теории или каких-то отдельных её положениях может быть нечто такое, что используй вы это за карточным столом вам тут же зарядили бы канделябром с размаха.
Оно понятно, что персональные оценки у разных людей могут быть разными, а потому вполне могут быть такие вещи, которые одни люди сочли бы «честной игрой», а другие при этом — «нарушением правил». Однако если процент людей, распознающих в каком-то действии грязный хак достаточно высок, данная теория никогда не войдёт в число стабильно принятого человечеством. Ведь даже если она верна, интуитивно очевидное читерство не может не раздражать.
И самое главное, читерство не может доказывать верность теории. Теория, быть может, верна, даже если кто-то пытался мухлевать в доказательстве, но верна она как бы помимо этого доказательства, а это доказательство следует забыть, как страшный сон, предварительно зарядив шулеру канделябром.
В моём личном топчике шулерских приёмов первое место однозначно занимает то, что условно можно назвать «модифицированный парадокс лжеца». Но, разумеется, речь не про сам парадокс, а про метод рассуждений, который в нём используется.
Вкратце работает он так.
В этой форме, подозреваю, почти каждому станет понятно, почему даже в Древней Греции, где приборы делать ещё не особо умели и про то, как устроены мысли на уровне физиологии, почти ничего не знали, тем не менее, уже постоянно заряжали канделябром тем философам, которые такими построениями пытались что-то доказать.
Почти каждому сразу же понятно, что вышеописанное срабатывает вообще всегда: если у тебя есть возможность сначала попросить предсказание, а потом ответить не так, как предсказал пророк, то ты непобедим.
Это всё равно что устроить соревнования по стрельбе из лука, в которых судья рисует мишень после уже сделанного выстрела.
Это всё равно что провести лотерею, где организатор сам выбирает выигравший номер после того, как посмотрит, на какие номера уже сделали ставки игроки.
Это всё равно что предложить отгадать загадку, текст которой ты можешь поменять после полученного ответа.
Разумеется, организатор подобных мероприятий встретится с канделябром почти наверняка.
Но внезапно, если облечь это в форму философии или математики, оно начинает прокатывать. В частности, я находил где-то так пару десятков типа «теорем», которые доказывались именно этим способом.
Как минимум, в числе наиболее известных…
Кто-то наверно скажет: «но ведь тут А — следствие/частный случай Б». И он будет совершенно прав, поскольку вообще всё это и ещё пара десятков подобного — просто эксплуатация одного и того же трюка. Который, конечно, замаскирован по сравнению с моим его описанием, но, тем не менее, целая куча людей его высматривает даже сквозь маскировку.
Прямо, вот, на интуитивном уровне: «Я не знаю, как это называется, и логически сходу обосновать не могу, но чувствую, что меня пытаются поиметь».
Я вас умоляю, когда люди задают вопрос «возможно ли что-то там?», они никогда не имеют в виду «возможно ли это во всех случаях, включая те, когда постфактум этому сопротивляются?».
Вопрос «есть ли в этой книге ошибки?» задаётся вовсе не в контексте «…в том числе, если вы её проверите, а я потом туда ещё чего-то впишу?».
А вопрос «возможно ли автоматизированное вычисление оптимальных ходов в шахматах?» не включает в себя «…в том числе, если я при неудачном для меня раскладе игры переверну доску и откажусь играть дальше».
Если кто-то на вопрос «возможно ли построить самолёт?» ответит: «невозможно, поскольку я ведь гипотетически могу ломать любой самолёт, который попытаются построить», — то это вряд ли кто-то назовёт «доказательством невозможности построения самолётов».
Тут очевидная подмена реального вопроса на в реальности никогда не задающийся, но выдаваемый за ответ на реальный вопрос. Да ещё и эта подмена опирается на явно мошеннический приём «подправить постфактум», что если не все, то многие заметят.
И тут нет ничего особо странного. Ведь человек, как социальное животное, сотни тысяч лет участвовал во взаимодействиях с себе подобными, а потому просто был вынужден обрести возможность различать мошенничество на уровне интуиции. Конечно, как и всё интуитивное, оно не даёт гарантий верности выводов и не обеспечивает стопроцентное срабатывание, по коей причине люди всё-таки способны обмануть друг друга, но чем более вопиющий случай мошенничества просматривается, тем быстрее и тем больше людей почувствуют подвох.
Даже, повторюсь, не зная, как оно называется и какие логические концепции стоят за его разоблачением.
Так, например, даже если человек не знает слова «рекурсия» и каких-либо теорем про оную, если описать ему вот такой процесс…
…он почти наверняка довольно быстро поймёт, что финального результата у этого процесса не может быть вообще.
Да-да, мы могли в довесок к нашему интуитивному пониманию сего добавить какой-то красивый термин типа «рекурсия без условия выхода», однако это было бы всего лишь именованием того, что понятно и так.
Мы могли бы найти какой-то формальный способ доказательства отсутствия результата, но это было бы только лишь формальным доказательством того, что понятно и так.
Однако, предположим, кто-то для каких-то своих рассуждений предлагает представить, что этот алгоритм всё-таки завершился, и теперь мы разглядываем результат. У него для этого даже есть какой-то благообразный предлог: «так мы будем делать для простоты рассуждений». Потом он добавляет: «смотрите, множим, делим, переставляем туда, переставляем сюда — и вот мы доказали, существование незримых сусликов».
Вроде бы чёткие логические выводы из «просто аксиом». Чего вам не нравится? Зачем вы спорите?
Ну эта, нам и многим другим людям не нравится, что ты предложили рассмотреть завершение того, что даже на уровне интуиции выглядит незавершимым. Ты можешь ловко переопределить термины, ввести какие-то мутные аксиомы, сообщить, что речь идёт о специальной параллельной вселенной, где такое возможно, но с точки зрения интуиции ты — мошенник, а потому предложенный тобой вывод может оказаться верным только случайно, а не ввиду твоего доказательства.
Интуиция нам подсказывает, что в какой-то момент ты у нас потребуешь денег в качестве оплаты за твоих незримых сусликов, которых ты нам незримо продал или чего-то типа того. Именно это прописала нам прямо в мозг жизнь сотен тысяч поколений наших предков в социуме.
Конечно, интуиция, может проглядеть мошенничество или, наоборот, найти его там, где его нет — чтобы исправить эту недоработку нам как раз и нужны логические проверки. Однако, если логическая проверка не смогла убедить чью-то интуицию, что «всё в порядке — ложное срабатывание», то логик может хоть здоровьем всех своих друзей и родственников поклясться, а предложенные им выводы всё равно не перестанут вызывать подозрения.
Разумеется, если хорошо замаскировать этот рекурсивный алгоритм, чьи-то встроенные барьеры он сумеет обойти. Возможно, даже у многих обойдёт. Возможно, даже у большинства. Однако всё равно останется довольно много людей, которые будут даже на интуитивном уровне сопротивляться тому, что интуитивно воспринимается как читерство, в какую бы обёртку это ни завернули.
Мы можем сказать: «у нас тут абстрактная наука, просто делающая выводы из принятых нами аксиом», — однако интуиция продолжит твердить, что в этих ваших аксиомах есть какое-то мошенничество, пусть мы даже ещё не знаем, где именно.
«Давайте построим число, для построения которого надо перебрать все элементы бесконечного списка». Ну, кому-то, возможно, покажется, что всё в порядке. Но кто-то другой обязательно спросит: «Извините, бесконечный список — это вроде бы тот, который никогда не кончается? И как же вы предполагаете перебрать все его элементы, чтобы получить финальную версию этого числа?». «А мы введём аксиому, согласно которой в нашей вселенной все элементы уже перебраны!».
Да какую бы аксиому вы ни ввели, как бы не переименовали термины, в чём бы ни поклялись, как максимум получится обмануть интуицию части людей, но не получится её успокоить. Те, кто разглядит в ваших переименованиях завершение бесконечного процесса, выглядящее для них читерством, никогда не примут вашу теорию.
У этого процесса есть предел? Ок, это мы допускаем — есть какая-то грань или диапазон, за пределы которого мы никогда не выйдем. Тут интуиция вообще не разу не против.
У описанного процесса есть результат — в параллельной вселенной, которую мы назовём «математической»? Ну эта, улетайте в свою параллельную вселенную, проклятые пришельцы, пока вам канделябром не зазвездили.
Чего-то где-то ведь даже сходится. В многих местах оно вроде бы даже непротиворечиво. Вон, мы можем через бесконечные суммы представлять функции, мы на базе этого можем ввести концепцию интегрирования, мы можем вывести соответствие синусов и комплексных экспонент. Однако пока вы якобы «для удобства» говорите «бесконечная сумма равна» вместо «пределом частичных сумм является», в ваших рассуждениях будут видеть потенциально опасную дыру.
Как бы мошенник для отвода глаз притворяется честным и даже даёт зевакам выигрывать. Чтобы потом, втеревшись в доверие, в какой-то момент найти жертву и прокинуть её на кучу денег.
Естественно, я говорю это образно — конкретный математик может даже в мыслях не иметь как-то монетизировать свои читерские построения или кого-то специально обмануть. Он, быть может, совершенно искренне хочет облагодетельствовать человечество доказательством того, что сумма всех натуральных чисел, правда-правда, равна минус одной двенадцатой.
Однако интуиция как раз какого-то такого результата и ждала ещё с того момента, когда речь зашла про результат вычисления бесконечной суммы вместо предела частичных. «Весьма вероятно», — сообщила она ещё тогда, — «через какое-то время у вас попытаются отжать ваших коз или хотя бы убедить вас, что сумма положительных величин может быть дробной и отрицательной, а потому мой бесконечный долг вам — на самом деле, ваш конечный долг мне».
Часто, чтобы защитить милые своему сердцу построения, всё это начинают трактовать как «непонимание оппонентом чего-то там» — «абстракций», «современной логики», «какого-то раздела математики» и т.п.
И не поспоришь, довольно часто люди действительно не понимают какую-то концепцию или даже не пробовали её понять. Но как универсальное объяснение оно не срабатывает: ведь ровно так можно обосновать противодействие абсолютно любой концепции, а не только этой. «Просто ты не понял» — вам с тем же успехом скажут не только про, например, теорему Гёделя, а и про писанину Гегеля. Про «Бхагавад-Гиту», «Дианетику», «Книгу Мормонов», «Новую хронологию» и откровения Василия Пупкина в палате номер шесть.
Разумеется, человек вполне может чего-то не понимать. Однако он ещё может что-то понимать, но одновременно с тем видеть в этом ошибки. Или пока ещё не видеть ошибки, но интуитивно чувствовать, что тут какой-то мухлёж. Особенно, если он уже встречался с подобным шаблоном мухлежа ранее.
И единственный способ спасти вашу любимую теорию в его глазах — каким-то образом продемонстрировать, что и без этого читерского манёвра всё равно всё сходится.
Так, например, в матанализе всё отлично сходится, даже если не считать, что правда существуют «бесконечные суммы» с реальными результатами. Всё нормально — площадь под графиком равна пределу бесконечной суммы бесконечно малых приращений или, если кому-то будет угодно, бесконечно к нему близка. Это ничему не противоречит, включая интуицию. Поэтому даже те, кому не нравится та бомба с часовым механизмом, установленным на неизвестное нам время, в которое она обязательно рванёт минус одной двенадцатой, вполне могут использовать матанализ, для надёжности вышвырнув эту бомбу в огород более спокойного в отношении математической мистики соседа.
И та часть теории множеств, которая не касается актуальных бесконечностей и аксиомы выбора, тоже не только вполне применима, а даже очень широко применяется — в том числе, в совершенно практических аспектах.
Однако проблемка в том, что на шулерских механизмах начинают именно что настаивать, и это только подкрепляет интуицию в её выводах о том, что перед нами шулер — тащите канделябр. Ведь шулер почти наверняка тоже будет делать так: настаивать на том, что ты просто обязан взять весь комплект, несмотря на твои сомнения по поводу каких-то его частей. Типа, если ты согласен с пунктом о том, что полезно чистить зубы каждый день, у тебя просто нет выбора, кроме как согласиться на то, что Луна состоит из швейцарского сыра, а обязанность каждого — регулярно целовать пятую точку Хэнка. Либо ты берёшь все эти пункты скопом, либо ты должен отказаться от чистки зубов.
И под это даже зачастую подводится обоснование, прямо так и звучащее: «Чистка зубов в своей основе имеет откровение Хэнка о сырном составе Луны. Без него чистка зубов принципиально невыводима».
«Я ж говорила, что шулер», — тут же саркастически подытоживает интуиция, — «За кого он нас вообще держит, если думает, что мы не знаем о том, что люди чистили зубы за десятки тысяч лет до нашей эры, а Хэнк явил миру свои откровения только в прошлую пятницу».
Не, ну серьёзно, вы действительно надеетесь, что всех убедят слова «теория множеств — основа всей современной математики», когда на расстоянии двух кликов от каждого лежит информация о том, что математика была уже у древних египтян, индийцев и китайцев, а теория множеств появилась только в девятнадцатом веке? В современной математике от всего, что было до двадцатого века, уже отказались?
Один читерский манёвр обязательно потянет за собой другой читерский манёвр — интуиция в этом совершенно права. «Чего-то многие нам не верят — надо как-то их дожать: скажем им, что без этой нашей штуки вообще никак».
Повторюсь, интуиция, заподозрив мошенничество, вопиет независимо от степени верности теории. Достаточно совершенно верную теорию начать преподносить через что-то, что диагностируется как мошенничество, и этого будет уже достаточно, чтобы куча людей начала этому возражать. Вы можете делать вид, что это они борются с самой теорией, поскольку тупые мракобесы, но нет, изрядная их часть борется с мошенническими манёврами.
Так, например, вряд ли у кого-то есть сомнения в том, что арифметика правда работает. Но стоит в школе начать рассказывать, будто бы умножение двух чашек на пять кусков сахара — не то же самое, что умножение пяти кусков сахара на две чашки, как тут же нарисуется изрядная группа «борцов с арифметикой».
Реально-то они сомневаются в вашей теории не потому, что думают, будто бы арифметика не работает. Нет, они думают, что арифметика не может работать так, как вы только что описали. Поскольку не может быть такого, что от перестановки множителей не меняется произведение, но при перестановке чашек и кусков сахара меняется ответ. Что коммутативность умножения, что последовательность суждений у человека к этому возрасту уже прописана на интуитивный уровень, а потому интуиция тут же напрягается и сигналит «внимание, где-то тут напипалово».
И дело не в том, что «они не поняли рассуждений».
Дети могут усомниться в реальности отрицательных чисел, а ряд взрослых сомневается в реальности комплексных, однако хорошо подобранные иллюстрации довольно быстро примиряют их интуицию с тем, что поначалу показалось им подозрительным.
А вот если вы сыплете примерами многие годы напролёт, однако это приводит только к тому, что интуиция какой-то заметной части людей настропаляется всё сильнее, вместо того чтобы примириться, то с большой вероятностью в теории действительно есть какая-то серьёзная проблема. Не факт, что неустранимая, но в какой-то части есть. И пока её из теории не устранят, теория с неизбежностью будет перемежаться с религией, требуя просто уверовать в некоторые её положения вопреки интуиции, а то и вообще логике.
Если же окажется, что без шулерского манёвра концы с концами в принципе не сходятся, то, увы, теория обречена — принятой всеми она не будет вообще никогда.
Третья часть
doc-файл
Шулерский манёвр
В самой основе теории или каких-то отдельных её положениях может быть нечто такое, что используй вы это за карточным столом вам тут же зарядили бы канделябром с размаха.
Оно понятно, что персональные оценки у разных людей могут быть разными, а потому вполне могут быть такие вещи, которые одни люди сочли бы «честной игрой», а другие при этом — «нарушением правил». Однако если процент людей, распознающих в каком-то действии грязный хак достаточно высок, данная теория никогда не войдёт в число стабильно принятого человечеством. Ведь даже если она верна, интуитивно очевидное читерство не может не раздражать.
И самое главное, читерство не может доказывать верность теории. Теория, быть может, верна, даже если кто-то пытался мухлевать в доказательстве, но верна она как бы помимо этого доказательства, а это доказательство следует забыть, как страшный сон, предварительно зарядив шулеру канделябром.
В моём личном топчике шулерских приёмов первое место однозначно занимает то, что условно можно назвать «модифицированный парадокс лжеца». Но, разумеется, речь не про сам парадокс, а про метод рассуждений, который в нём используется.
Вкратце работает он так.
- Предположим, у нас есть прибор, который предсказывает ответы Василия Пупкина, которые он произнесёт вслух.
- Давайте Василий Пупкин попросит этот прибор предсказать его следующий ответ.
- А потом ответит не так, как предсказал прибор.
- Шах и мат, мы доказали невозможность предсказания ответов — даже путём чтения мыслей.
В этой форме, подозреваю, почти каждому станет понятно, почему даже в Древней Греции, где приборы делать ещё не особо умели и про то, как устроены мысли на уровне физиологии, почти ничего не знали, тем не менее, уже постоянно заряжали канделябром тем философам, которые такими построениями пытались что-то доказать.
Почти каждому сразу же понятно, что вышеописанное срабатывает вообще всегда: если у тебя есть возможность сначала попросить предсказание, а потом ответить не так, как предсказал пророк, то ты непобедим.
Это всё равно что устроить соревнования по стрельбе из лука, в которых судья рисует мишень после уже сделанного выстрела.
Это всё равно что провести лотерею, где организатор сам выбирает выигравший номер после того, как посмотрит, на какие номера уже сделали ставки игроки.
Это всё равно что предложить отгадать загадку, текст которой ты можешь поменять после полученного ответа.
Разумеется, организатор подобных мероприятий встретится с канделябром почти наверняка.
Но внезапно, если облечь это в форму философии или математики, оно начинает прокатывать. В частности, я находил где-то так пару десятков типа «теорем», которые доказывались именно этим способом.
Как минимум, в числе наиболее известных…
- Теорема Гёделя.
- Теорема о проблеме предсказания остановки программы.
- Теорема о невозможности построения универсальной машины Тьюринга.
- Теорема о невычислимости Колмогоровской сложности.
- Отчасти диагональный аргумент Кантора.
Кто-то наверно скажет: «но ведь тут А — следствие/частный случай Б». И он будет совершенно прав, поскольку вообще всё это и ещё пара десятков подобного — просто эксплуатация одного и того же трюка. Который, конечно, замаскирован по сравнению с моим его описанием, но, тем не менее, целая куча людей его высматривает даже сквозь маскировку.
Прямо, вот, на интуитивном уровне: «Я не знаю, как это называется, и логически сходу обосновать не могу, но чувствую, что меня пытаются поиметь».
Я вас умоляю, когда люди задают вопрос «возможно ли что-то там?», они никогда не имеют в виду «возможно ли это во всех случаях, включая те, когда постфактум этому сопротивляются?».
Вопрос «есть ли в этой книге ошибки?» задаётся вовсе не в контексте «…в том числе, если вы её проверите, а я потом туда ещё чего-то впишу?».
А вопрос «возможно ли автоматизированное вычисление оптимальных ходов в шахматах?» не включает в себя «…в том числе, если я при неудачном для меня раскладе игры переверну доску и откажусь играть дальше».
Если кто-то на вопрос «возможно ли построить самолёт?» ответит: «невозможно, поскольку я ведь гипотетически могу ломать любой самолёт, который попытаются построить», — то это вряд ли кто-то назовёт «доказательством невозможности построения самолётов».
Тут очевидная подмена реального вопроса на в реальности никогда не задающийся, но выдаваемый за ответ на реальный вопрос. Да ещё и эта подмена опирается на явно мошеннический приём «подправить постфактум», что если не все, то многие заметят.
И тут нет ничего особо странного. Ведь человек, как социальное животное, сотни тысяч лет участвовал во взаимодействиях с себе подобными, а потому просто был вынужден обрести возможность различать мошенничество на уровне интуиции. Конечно, как и всё интуитивное, оно не даёт гарантий верности выводов и не обеспечивает стопроцентное срабатывание, по коей причине люди всё-таки способны обмануть друг друга, но чем более вопиющий случай мошенничества просматривается, тем быстрее и тем больше людей почувствуют подвох.
Даже, повторюсь, не зная, как оно называется и какие логические концепции стоят за его разоблачением.
Так, например, даже если человек не знает слова «рекурсия» и каких-либо теорем про оную, если описать ему вот такой процесс…
- Берём произвольное число в качестве текущего.
- Делим текущее число пополам.
- Делаем результат текущим числом.
- Переходим на шаг 2.
…он почти наверняка довольно быстро поймёт, что финального результата у этого процесса не может быть вообще.
Да-да, мы могли в довесок к нашему интуитивному пониманию сего добавить какой-то красивый термин типа «рекурсия без условия выхода», однако это было бы всего лишь именованием того, что понятно и так.
Мы могли бы найти какой-то формальный способ доказательства отсутствия результата, но это было бы только лишь формальным доказательством того, что понятно и так.
Однако, предположим, кто-то для каких-то своих рассуждений предлагает представить, что этот алгоритм всё-таки завершился, и теперь мы разглядываем результат. У него для этого даже есть какой-то благообразный предлог: «так мы будем делать для простоты рассуждений». Потом он добавляет: «смотрите, множим, делим, переставляем туда, переставляем сюда — и вот мы доказали, существование незримых сусликов».
Вроде бы чёткие логические выводы из «просто аксиом». Чего вам не нравится? Зачем вы спорите?
Ну эта, нам и многим другим людям не нравится, что ты предложили рассмотреть завершение того, что даже на уровне интуиции выглядит незавершимым. Ты можешь ловко переопределить термины, ввести какие-то мутные аксиомы, сообщить, что речь идёт о специальной параллельной вселенной, где такое возможно, но с точки зрения интуиции ты — мошенник, а потому предложенный тобой вывод может оказаться верным только случайно, а не ввиду твоего доказательства.
Интуиция нам подсказывает, что в какой-то момент ты у нас потребуешь денег в качестве оплаты за твоих незримых сусликов, которых ты нам незримо продал или чего-то типа того. Именно это прописала нам прямо в мозг жизнь сотен тысяч поколений наших предков в социуме.
Конечно, интуиция, может проглядеть мошенничество или, наоборот, найти его там, где его нет — чтобы исправить эту недоработку нам как раз и нужны логические проверки. Однако, если логическая проверка не смогла убедить чью-то интуицию, что «всё в порядке — ложное срабатывание», то логик может хоть здоровьем всех своих друзей и родственников поклясться, а предложенные им выводы всё равно не перестанут вызывать подозрения.
Разумеется, если хорошо замаскировать этот рекурсивный алгоритм, чьи-то встроенные барьеры он сумеет обойти. Возможно, даже у многих обойдёт. Возможно, даже у большинства. Однако всё равно останется довольно много людей, которые будут даже на интуитивном уровне сопротивляться тому, что интуитивно воспринимается как читерство, в какую бы обёртку это ни завернули.
Мы можем сказать: «у нас тут абстрактная наука, просто делающая выводы из принятых нами аксиом», — однако интуиция продолжит твердить, что в этих ваших аксиомах есть какое-то мошенничество, пусть мы даже ещё не знаем, где именно.
«Давайте построим число, для построения которого надо перебрать все элементы бесконечного списка». Ну, кому-то, возможно, покажется, что всё в порядке. Но кто-то другой обязательно спросит: «Извините, бесконечный список — это вроде бы тот, который никогда не кончается? И как же вы предполагаете перебрать все его элементы, чтобы получить финальную версию этого числа?». «А мы введём аксиому, согласно которой в нашей вселенной все элементы уже перебраны!».
Да какую бы аксиому вы ни ввели, как бы не переименовали термины, в чём бы ни поклялись, как максимум получится обмануть интуицию части людей, но не получится её успокоить. Те, кто разглядит в ваших переименованиях завершение бесконечного процесса, выглядящее для них читерством, никогда не примут вашу теорию.
У этого процесса есть предел? Ок, это мы допускаем — есть какая-то грань или диапазон, за пределы которого мы никогда не выйдем. Тут интуиция вообще не разу не против.
У описанного процесса есть результат — в параллельной вселенной, которую мы назовём «математической»? Ну эта, улетайте в свою параллельную вселенную, проклятые пришельцы, пока вам канделябром не зазвездили.
Чего-то где-то ведь даже сходится. В многих местах оно вроде бы даже непротиворечиво. Вон, мы можем через бесконечные суммы представлять функции, мы на базе этого можем ввести концепцию интегрирования, мы можем вывести соответствие синусов и комплексных экспонент. Однако пока вы якобы «для удобства» говорите «бесконечная сумма равна» вместо «пределом частичных сумм является», в ваших рассуждениях будут видеть потенциально опасную дыру.
Как бы мошенник для отвода глаз притворяется честным и даже даёт зевакам выигрывать. Чтобы потом, втеревшись в доверие, в какой-то момент найти жертву и прокинуть её на кучу денег.
Естественно, я говорю это образно — конкретный математик может даже в мыслях не иметь как-то монетизировать свои читерские построения или кого-то специально обмануть. Он, быть может, совершенно искренне хочет облагодетельствовать человечество доказательством того, что сумма всех натуральных чисел, правда-правда, равна минус одной двенадцатой.
Однако интуиция как раз какого-то такого результата и ждала ещё с того момента, когда речь зашла про результат вычисления бесконечной суммы вместо предела частичных. «Весьма вероятно», — сообщила она ещё тогда, — «через какое-то время у вас попытаются отжать ваших коз или хотя бы убедить вас, что сумма положительных величин может быть дробной и отрицательной, а потому мой бесконечный долг вам — на самом деле, ваш конечный долг мне».
Часто, чтобы защитить милые своему сердцу построения, всё это начинают трактовать как «непонимание оппонентом чего-то там» — «абстракций», «современной логики», «какого-то раздела математики» и т.п.
И не поспоришь, довольно часто люди действительно не понимают какую-то концепцию или даже не пробовали её понять. Но как универсальное объяснение оно не срабатывает: ведь ровно так можно обосновать противодействие абсолютно любой концепции, а не только этой. «Просто ты не понял» — вам с тем же успехом скажут не только про, например, теорему Гёделя, а и про писанину Гегеля. Про «Бхагавад-Гиту», «Дианетику», «Книгу Мормонов», «Новую хронологию» и откровения Василия Пупкина в палате номер шесть.
Разумеется, человек вполне может чего-то не понимать. Однако он ещё может что-то понимать, но одновременно с тем видеть в этом ошибки. Или пока ещё не видеть ошибки, но интуитивно чувствовать, что тут какой-то мухлёж. Особенно, если он уже встречался с подобным шаблоном мухлежа ранее.
И единственный способ спасти вашу любимую теорию в его глазах — каким-то образом продемонстрировать, что и без этого читерского манёвра всё равно всё сходится.
Так, например, в матанализе всё отлично сходится, даже если не считать, что правда существуют «бесконечные суммы» с реальными результатами. Всё нормально — площадь под графиком равна пределу бесконечной суммы бесконечно малых приращений или, если кому-то будет угодно, бесконечно к нему близка. Это ничему не противоречит, включая интуицию. Поэтому даже те, кому не нравится та бомба с часовым механизмом, установленным на неизвестное нам время, в которое она обязательно рванёт минус одной двенадцатой, вполне могут использовать матанализ, для надёжности вышвырнув эту бомбу в огород более спокойного в отношении математической мистики соседа.
И та часть теории множеств, которая не касается актуальных бесконечностей и аксиомы выбора, тоже не только вполне применима, а даже очень широко применяется — в том числе, в совершенно практических аспектах.
Однако проблемка в том, что на шулерских механизмах начинают именно что настаивать, и это только подкрепляет интуицию в её выводах о том, что перед нами шулер — тащите канделябр. Ведь шулер почти наверняка тоже будет делать так: настаивать на том, что ты просто обязан взять весь комплект, несмотря на твои сомнения по поводу каких-то его частей. Типа, если ты согласен с пунктом о том, что полезно чистить зубы каждый день, у тебя просто нет выбора, кроме как согласиться на то, что Луна состоит из швейцарского сыра, а обязанность каждого — регулярно целовать пятую точку Хэнка. Либо ты берёшь все эти пункты скопом, либо ты должен отказаться от чистки зубов.
И под это даже зачастую подводится обоснование, прямо так и звучащее: «Чистка зубов в своей основе имеет откровение Хэнка о сырном составе Луны. Без него чистка зубов принципиально невыводима».
«Я ж говорила, что шулер», — тут же саркастически подытоживает интуиция, — «За кого он нас вообще держит, если думает, что мы не знаем о том, что люди чистили зубы за десятки тысяч лет до нашей эры, а Хэнк явил миру свои откровения только в прошлую пятницу».
Не, ну серьёзно, вы действительно надеетесь, что всех убедят слова «теория множеств — основа всей современной математики», когда на расстоянии двух кликов от каждого лежит информация о том, что математика была уже у древних египтян, индийцев и китайцев, а теория множеств появилась только в девятнадцатом веке? В современной математике от всего, что было до двадцатого века, уже отказались?
Один читерский манёвр обязательно потянет за собой другой читерский манёвр — интуиция в этом совершенно права. «Чего-то многие нам не верят — надо как-то их дожать: скажем им, что без этой нашей штуки вообще никак».
Повторюсь, интуиция, заподозрив мошенничество, вопиет независимо от степени верности теории. Достаточно совершенно верную теорию начать преподносить через что-то, что диагностируется как мошенничество, и этого будет уже достаточно, чтобы куча людей начала этому возражать. Вы можете делать вид, что это они борются с самой теорией, поскольку тупые мракобесы, но нет, изрядная их часть борется с мошенническими манёврами.
Так, например, вряд ли у кого-то есть сомнения в том, что арифметика правда работает. Но стоит в школе начать рассказывать, будто бы умножение двух чашек на пять кусков сахара — не то же самое, что умножение пяти кусков сахара на две чашки, как тут же нарисуется изрядная группа «борцов с арифметикой».
Реально-то они сомневаются в вашей теории не потому, что думают, будто бы арифметика не работает. Нет, они думают, что арифметика не может работать так, как вы только что описали. Поскольку не может быть такого, что от перестановки множителей не меняется произведение, но при перестановке чашек и кусков сахара меняется ответ. Что коммутативность умножения, что последовательность суждений у человека к этому возрасту уже прописана на интуитивный уровень, а потому интуиция тут же напрягается и сигналит «внимание, где-то тут напипалово».
И дело не в том, что «они не поняли рассуждений».
Дети могут усомниться в реальности отрицательных чисел, а ряд взрослых сомневается в реальности комплексных, однако хорошо подобранные иллюстрации довольно быстро примиряют их интуицию с тем, что поначалу показалось им подозрительным.
А вот если вы сыплете примерами многие годы напролёт, однако это приводит только к тому, что интуиция какой-то заметной части людей настропаляется всё сильнее, вместо того чтобы примириться, то с большой вероятностью в теории действительно есть какая-то серьёзная проблема. Не факт, что неустранимая, но в какой-то части есть. И пока её из теории не устранят, теория с неизбежностью будет перемежаться с религией, требуя просто уверовать в некоторые её положения вопреки интуиции, а то и вообще логике.
Если же окажется, что без шулерского манёвра концы с концами в принципе не сходятся, то, увы, теория обречена — принятой всеми она не будет вообще никогда.
Третья часть
doc-файл