Lex Kravetski (lex_kravetski) wrote,
Lex Kravetski
lex_kravetski

Category:

Существует принципиально непознаваемое

В теории множеств полагается, что нечто, называемое «бесконечными множествами», вполне может целиком поддерживать те же операции, что и конечные множества. В частности, операции «объединения», «дополнения» и «пересечения» для них непротиворечиво определены, причём ровно теми же словами, что и для множеств конечных.

Так, например, дополнение множества A до множества B — это такое множество, которое содержит все элементы B, которых нет в A.

Вот с этого момента я и начну отличный фокус, который приведёт нас к суждению, в ином случае однозначно отвергнутому бы по причине своей вопиющей абсурдности.

Для начала построим множество P следующим способом.

Возьмём какое-то иррациональное число и извлечём из него сколько-то цифр. Например, столько, сколько нам «скажет» его последняя цифра перед точкой (здесь и в дальнейшем мы будем считать, что цифра 0 «говорит» нам извлечь одну цифру, как и цифра 1).

Извлечённые цифры мы будем считать цифрами числа, которое станет первым элементом множества P.

После этого мы возьмём следующую цифру, которая «скажет» нам, сколько следующих цифр следует извлечь теперь. Сделаем из них число — второй элемент. Возьмём следующую цифру, которая скажет нам, сколько надо извлечь цифр для третьего элемента. И так далее.

Например, если взять в качестве иррационального числа число π, то у нас получится следующее.

141 5 92653 5 89793 2 38 4 6264 3 383 2 79 5 02884

Зелёным тут помечены те числа, которые вошли во множество P для числа π.

Вполне очевидно, что для любого иррационального числа мы можем построить данное множество, если уж считаем, что у него есть десятичное представление. Действительно, какую бы позицию в нём мы ни взяли, для неё есть следующие за ней цифры. Таким образом, мы всегда можем взять как цифру, которая покажет, сколько ещё цифр надо взять, так и эти самые цифры.

С этим множеством в наличии маленькая проблемка: в общем случае мы не можем узнать все числа, которые в него входят, поскольку для этого нам бы пришлось «прочитать» десятичную запись выбранного нами иррационального числа до конца, коего у неё нет. Но нас это не смущает — в конце концов, мы не можем «прочитать до конца» и все натуральные числа тоже, однако мы понимаем, что сколько бы чисел мы уже ни прочитали, у нас никогда не возникнет проблема с тем, чтобы точно сказать, какое будет следующее. Поэтому мы можем представить себе, что все эти числа уже как бы есть, — закрыв глаза на то, что в каждый момент времени мы видели лишь некоторую конечную часть оных.

Это вроде бы не особо противоречит интуиции и вроде бы не должно нести за собой каких-либо проблем. Во всяком случае, в теории множеств этим постоянно пользуются.

Тем не менее, продолжим.

Числа, из которых может состоять множество P, не меньше 0 и не больше 999 999 999, поскольку мы можем взять минимум 1 цифру и максимум 9 цифр, а на каждой позиции десятичной записи числа стоят цифры от 0 до 9.

Из этого, в том числе, следует, что множество P всегда конечно (если мы считаем, что дубликаты уже вошедших чисел не включаются в него повторно).

Кроме того, хотя мы и не можем для произвольного иррационального числа сказать, какие числа войдут в его множество P, но мы точно можем сказать, какие не войдут.

Назовём множество возможных для P чисел «N99» (натуральные числа от нуля до девяти девяток).

Мы не можем утверждать, что множество P для любого иррационального числа будет совпадать со множеством N99 — хотя бы уже потому, что возможно построение иррационального числа, которое точно не содержит часть из них. Например, иррациональное число, в десятичном представлении которого гарантированно нет девяток, не может содержать те числа из N99, в которых они есть.

То есть в общем случае для конкретного множества P у нас нет никаких гарантий, что все числа из N99 содержатся в нём. Более того, в ряде случаев принципиально невозможно получить ответ на вопрос «все или не все», поскольку единственный способ узнать это — «прочитать» данное бесконечное число до конца, что возможно только в воображении.

Теперь финальная часть фокуса.

Построим множество C, которое является дополнением P до N99. Теория множеств утверждает, что это возможно — ведь дополнение всегда существует, если существуют сами множества (а мы вроде как убедились, что оба всегда существуют, какое бы иррациональное число мы ни взяли). Причём то, что последовательность, на основе которой строятся два из них бесконечна, вполне нормально: согласно теории множеств это ничему не мешает.

В результате, мы можем считывать следующую порцию цифр из выбранного числа, получая ещё один элемент P для него. Про этот элемент мы будем знать, что он не вошёл во множество C.

Однако сколько бы цифр мы ни считали, мы никогда не узнаем ни одного элемента, входящего в C. Ведь для этого в общем случае надо было бы прочитать выбранное число до конца и целиком построить для него множество P, и убедиться, что в нём точно нет какого-то числа из N99, которое в этом случае войдёт во множество C.

Для каких-то «особо хороших» чисел мы могли бы построить C без полного прочтения оных чисел, но есть те, для которых не могли бы, если уж полагается, что иррациональное число может состоять из абсолютно любой последовательности цифр, включая не описываемые аналитическими выражениями.

При этом, как говорилось выше, мы точно знаем, что есть такие числа, которые дают непустое множество C, поскольку их P гарантированно не включает в себя какие-то числа из N99, а потому P для любого «плохого числа» гипотетически может тоже не включать какие-то числа из N99, и мы никак не можем гарантировать, что нет таких «плохих чисел», которые не включали бы хотя бы одно число из N99.

Иными словами, если принять аксиомы теории множеств, то из этого следует, что…

Существуют конечные непустые множества, в которых принципиально неизвестен ни один их элемент.

Заметьте, тут речь не о том, что мы знаем не все элементы, хотя любой из них через сколько-то итераций могли бы узнать.

Нет, мы не знаем ни одного их элемента, и ни одного же не сможем узнать, сколько бы итераций мы ни сделали.

Как тебе такое, Илон Маск?

«Существует» конечные множества, ни один из элементов которых невозможно узнать.

Что в этом случае вообще означает слово «существует»?

И как вообще следует трактовать результат?

Как «принципиально непознаваемое существует»?

А сами эти множества, видимо, следует называть «воображаемыми», поскольку хотя бы один их элемент возможно узнать, исключительно вообразив себе, что мы закончили бесконечное?



doc-файл

Tags: наука, философия
Subscribe

  • Чем современные дети

    Хотелось бы прокомментировать статью «Чем современные дети отличаются от школьников 1980-х: 10 пунктов учителя истории», заодно объяснив, почему «не…

  • Двусторониий статистический факап

    Наблюдая рассуждения части граждан по поводу вакцинации, я в полный рост вижу вторую сторону факапа, которая ранее была скрыта на фоне первой. Вот…

  • О чём должна быть реальная «информатика»

    Когда я был маленьким, персональный компьютер представлял собой девайс с шестнадцатью или сорока восьмью килобайтами памяти и где-то так четырьмя или…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 63 comments

  • Чем современные дети

    Хотелось бы прокомментировать статью «Чем современные дети отличаются от школьников 1980-х: 10 пунктов учителя истории», заодно объяснив, почему «не…

  • Двусторониий статистический факап

    Наблюдая рассуждения части граждан по поводу вакцинации, я в полный рост вижу вторую сторону факапа, которая ранее была скрыта на фоне первой. Вот…

  • О чём должна быть реальная «информатика»

    Когда я был маленьким, персональный компьютер представлял собой девайс с шестнадцатью или сорока восьмью килобайтами памяти и где-то так четырьмя или…