Lex Kravetski (lex_kravetski) wrote,
Lex Kravetski
lex_kravetski

Category:

Три числа и последовательность

То ли задача, то ли фокус, но скорее и то, и другое вместе.

Выходите вы, положим, на сцену перед лекцией про математику и говорите: «рассмотрим последовательность 1, 2, 3, 4 и так далее до какого-то n. Так вот, вы мне назовёте произвольное положительное n, скажем, от 100 до 200, а я скажу, есть ли в этой последовательности такие три числа, что их произведение равно сумме всех оставшихся».

Что характерно, если знать как, то всё это правда можно назвать. Причём за несколько секунд, вычислив всё это в уме (если, конечно, кто-то, презрев ваши рекомендации, не назовёт вам число из тридцати знаков, на котором в уме только самые талантливые не собьются), тогда как интуитивно кажется, будто бы возможных троек в любой такой последовательности слишком много, чтобы даже вдесятером с калькулятором с этими перемножениями и суммированиями за разумное время управиться, и при этом ещё нигде не сбиться, точно определив, есть ли такая тройка, и кто она такая.

Быть может, поначалу всё выглядит так, будто бы мы имеем дело с чем-то очень сложным, что не то, что вывести, а даже понять может далеко не каждый. Даже как к этому подступиться может быть не сразу понятно. Но зато потом начнёт казаться, что, напротив, тут всё вообще лежало на поверхности. Занимательный такой переход.

И вот в чём суть очередного чит-кода от реальности. Во-первых, такая тройка правда всегда есть, если n больше четырёх (что мы докажем в процессе). Во-вторых, одно из таких чисел гарантированно — 1.

Однако вместо того, чтобы доказывать сию гарантированность, давайте просто предположим, что оно — 1, и если с единицей правда всегда будут находиться два других числа, то это уже само по себе будет доказательством данного предположения.

Так вот, запишем озвученную закономерность.

С одной стороны, у нас есть произведение трёх чисел



С другой стороны, у нас есть сумма оставшихся. Может показаться, что её в общем виде записать сложнее, но на самом деле она равна сумме всех чисел последовательности минус вот эти три, одно из которых — единица.



При этом сумма чисел такой последовательности вычисляется чисто алгоритмически. Она равна сумме первого и последнего числа, умноженной на половину от количества чисел в последовательности.



Итого у нас получается вот такое уравнение



Тут на одно уравнение две неизвестных, да ещё и целый ворох ограничений: оба искомых числа должны быть не больше n — чтобы принадлежать последовательности, — да ещё и оба целыми. Казалось бы, каким образом возможно узнать, есть ли хотя бы одно решение и найти его, если оно есть?

Для начала перенесём некоторые слагаемые из правой части в левую.



Теперь можно заметить, что в левой части на самом деле стоит «раскрытое произведение».



Итого у нас в уравнении сообщается, что есть два числа, произведение которых равно произведению двух целых чисел, делённому на два.

Однако это не какие попало числа, а два целых, следующих друг за другом. Из чего следует, что одно из них совершенно точно делится на два, а потому результат — целое число и, следовательно, слева тоже может стоять произведение двух целых чисел.

Предположим, что n делится на два. Тогда, мы можем в качестве искомых чисел взять






И всё сойдётся. Оба числа будут целые и оба не больше n.

Теперь предположим, что n не делится на два, но тогда на два делится n + 1.

И мы можем повторить манёвр.






Снова оба числа меньше n и оба — целые.

Единственная оговорка тут: n, как уже говорилось, должно быть больше четырёх. Поскольку, подставив 4 в формулы для чётного числа, в качестве одного из них нам будет предложена единица, а она уже используется в качестве «каждый раз выбранного» третьего. При трёх же в качестве n сумма оставшихся чисел будет равна нулю, поскольку оставшихся просто не будет. А при менее, чем трёх, мы уже не сможем выбрать три числа.

И вот результат: во-первых, доказано, что минимум одна такая тройка всегда есть при n > 4, а во-вторых, есть простые формулы, действительно позволяющие почти мгновенно назвать эти три числа.

Для чётного n надо назвать его само, число на единицу меньше его половины и единицу.

Для нечётного n надо назвать предыдущее, половину от предыдущего и ту же единицу.

Порядок называния, конечно, можно и поменять — для усиления эффекта.

То есть основные интеллектуальные затраты тут будут уходить на деление числа на два в уме, но для чисел разумного размера они, конечно, небольшие.

Зато представьте себе эффект: чтобы проверить верность того, что вы предложили за несколько секунд, у желающих это проверить «в лоб» уйдёт несколько минут в лучшем случае — если они догадаются, как быстро посчитать сумму оставшихся чисел. А если не догадаются, то для числа порядка пары сотен, можно и полчаса развлекаться. Вы же при этом, видимо, проделали все эти операции для целой кучи троек–кандидатов и нашли среди них нужную почти мгновенно. Мальчик с феноменальными способностями к счёту. Или даже девочка.

А да, забыл сказать, почему это позиционируется как фокус. Потому что я не могу придумать иного практического применения этой занимательной закономерности.

Но мало ли.



doc-файл

Tags: задачи, наука
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 1 comment