?

Log in

No account? Create an account

Предыдущий пост Поделиться Следующий пост
Парадоксы
lex_kravetski
О логическом разрешении апорий Зенона я уже писал. Краткая суть в том, что в формулировке процесса по построению выколота та самая точка, где Ахиллес должен догнать черепаху, поэтому правильный ответ на эту гипотетическую ситуацию: «здесь рассмотрен тот промежуток времени, на котором Ахиллес не догнал черепаху, поэтому на этом промежутке он её действительно не догонит. Из чего, впрочем, не следует, что он её не догонит никогда».

Аналогичным способом решается «парадокс» про лампочку, которая первую половину часа горит, потом четверть часа не горит, потом восьмую часть часа горит и т.п. Там ровно то же самое: нельзя сказать, будет ли гореть лампочка ровно после первого часа, поскольку в изначальных утверждениях это просто не описано — данная точка выколота, как и всё, что следует после неё. Вывод: «для ответа слишком мало данных», а вовсе не «формальная логика не справилась с задачей».

Иными словами, логика не гарантирует вам ответ на любой вопрос, независимо от системы аксиом. «Стоит четырехэтажный дом, в каждом этаже по восьми окон, на крыше — два слуховых окна и две трубы, в каждом этаже по два квартиранта. А теперь скажите, господа, в каком году умерла у швейцара бабушка?». На этот вопрос логический ответ: «из предоставленных данных ответ не выводим». Это, подчеркну, тоже ответ. Логический. Закономерный. Прописанный в правилах логики, даже если кто-то их плохо понимает или не знает вообще.

Парадоксы с критскими лжецами и им подобные разрешаются через закон логики, согласно которому система первичных высказываний не должна содержать противоречий. В этих парадоксах противоречия есть, что доказывается простым рассуждением, поэтому правильный логический ответ: «система содержит противоречивые аксиомы, а потому некорректна». Из такой системы при помощи несложных логических операций можно вывести «доказательство» любого произвольного утверждения, а потому такие наборы аксиом просто нет смысла рассматривать: их следствиями является полное множество вообще всех утверждений, а потому они не несут никакой информации.

Парадокс с брадобреем, который бреет тех, кто не бреется сам, разрешается, например, выводом: «такой брадобрей не может существать». Прямо по вышеописанному способу: есть запрет на наличие противоречий в системе базовых утверждений, а тут противоречие показывается парой операций.

Парадоксальную фразу «это утверждение — ложно» и ей подобные тоже можно разрешить вышеуказанным запретом на противоречивые системы базовых утверждений. Но, кроме того, и запретом на бесконечную рекурсию — в дополнение к требованию о непротиворечивости утверждений: если система высказываний при попытке проанализировать некое утверждение на истинность в её рамках приводит к бесконечной рекурсии, то данное утверждение просто не определено относительно данной системы утверждений.

Впрочем, есть и более извёрнутый способ разрешения, связанный со смыслом понятия «высказывание». В частности, высказывания о высказываниях — это не то же самого типа высказывания, что просто высказывания. Здесь в одной системе (и даже в одном утверждении) смешаны сразу два их типа, что в общем случае не гарантирует разрешимости и подводит либо к запрету на противоречия, либо к запрету на бесконечную рекурсию, но уже в ином смысле: здесь слово «утверждение» означает одновременно и логическое утверждение, и ссылку на саму фразу. Что не одно и то же. На каждом витке рассуждений мы будем наращивать «степень» этого отношения: утверждение об утверждении об утверждении, утверждение об утверждении об утверждении об утверждении и т.д. Каждый раз ошибочно считая, что, будто бы, термин «утверждение» имеет один и тот же смысл — раз уж он называется одним и тем же словом.

Впрочем, парадоксы, основанные на системе утверждений, некоторые из которых содержат утверждения о других утверждениях, тоже приводят к якобы «парадоксу». Как бы следует, что некоторое утверждение (обычно — как раз «утверждение об утверждении») одновременно истинно и ложно. Но нет, «парадокс» тут возникает исключительно потому, что мы пытаемся вывести истинность или ложность некоторой системы утверждений, основываясь на них же самих.

Такое просто невозможно сделать: можно лишь сказать, что утверждения содержат противоречие, поэтому не могут быть верны одновременно, а, следовательно, система аксиом противоречива.

Но иные утверждения об истинности сделать невозможно, ведь логика — это не про проверку истинности утверждений. Это про проверку истинности или ложности утверждений, относительно других утверждений.

Ну или о неопределённости статуса их взаимоотношений, как в случае с «бабушкой швейцара».

Об этом же принципе, кстати, говорят и любимые многими теоремы Гёделя: они тоже доказываются именно что построением утверждения о системе утверждений. То есть это — попытка «доказать» истинность системы аксиом при помощи них же самих. Именно в этом смысле «неполна» непротиворечивая система аксиом: нельзя построить такую систему, которая докажет истинность её же самой. А вовсе не (как некоторые думают) что «в любой системе аксиом есть какие-то положения, утверждений о ней самой не касающиеся, но при этом ложные и истинные в её рамках одновременно». Так, разумеется, тоже может оказаться, но этого ни Гёдель, ни кто-либо другой никогда не доказывал.

При помощи обращения внимания на то, что именно утверждается, логически разрешаются парадоксы вида: «Вася сказал то, а Петя — это». Да, действительно, высказывания Васи и Пети могут противоречить друг другу, но в данном случае система утверждений состоит из утверждений о том, что именно сказали Вася и Петя, а вовсе не о том, что ими сказанное одновременно верно́. Если оно верно́, то это — система с противоречиями. Вопрос закрыт. Если же речь именно про то, что Вася вот так сказал, а Петя — вот эдак, то вариантов разрешения целая куча. Например, «Вася ошибся». Или «Петя врёт».

В описании «парадоксов» это пытаются замаскировать и в процессе рассуждений меняют смысл этих утверждений, нарушая первый закон логики: то делается акцент на том, что «Вася сказал, что А — истинно», то на том, что «А — истинно». Будто бы это — одно и то же. Но нет, при аккуратном анализе вся парадоксальность исчезает.

В общем, я пока что не встречал ни одного действительно «логического парадокса». Все они разрешаются обычной формальной логикой по закономерным правилам.

И мне, вот, интересно. А есть ли у вас такого рода примеры, которые ставят вас в тупик?



doc-файл
Публикация на сайте «XX2 Век»
Публикация в блоге автора


  • 1
"В основе любого парадокса лежит логическая ошибка. Разрешить парадокс - значит, показать эту ошибку" (с) А.А.Зиновьев.
В случае с Ахиллесом и черепахой ни теория пределов, ни вычисление суммы бесконечной прогрессии не нужны. Здесь элементарное логическое жульничество. Сравнивать результаты рассуждений Зенона с реальностью - просто некорректно. Он формулирует не ту задачу, которую мы можем наблюдать эмпирически. В своих рассуждениях Зенон ставит дополнительное условие. Неявно, и не оговаривая. Он все время берет интервалы времени, которое требуется Ахиллесу, чтобы добежать до того места, где находилась черепаха в момент начала отсчета. А кто мешает взять интервал времени больше? Такого ограничения в реальности нет.

> Разрешить парадокс - значит, показать эту ошибку

Разрешить парадокс, разумеется, можно и просто указанием на ошибку. Однако цель той статьи: объяснить всё связанное с этим вопросом подробно, и заодно рассказать про близлежащий к этому матан.


> Он формулирует не ту задачу, которую мы можем наблюдать эмпирически. В своих рассуждениях Зенон ставит дополнительное условие. Неявно, и не оговаривая. Он все время берет интервалы времени, которое требуется Ахиллесу, чтобы добежать до того места, где находилась черепаха в момент начала отсчета. А кто мешает взять интервал времени больше? Такого ограничения в реальности нет.

…в том числе, потому, что вот такое, например, краткое указание на ошибку, не полностью корректно: рассмотрение иных отрезков, а не просто той точки, где черепаха была в момент начала отсчёта не помогло бы. Там суть именно в том, что в описании процесса в принципе рассматривается время, не включающее в себя тот момент, когда они поравняются. Хотя это и тщательно маскируется.

>>И мне, вот, интересно. А есть ли у вас такого рода примеры, которые ставят вас в тупик?

Это не совсем парадокс, конечно, но очень возбуждает задача про кареглазых/голубоглазых туземцев. Вроде для случая одного-трёх туземцев всё понятно, но почему работает и для сотни - разум принять отказывается.

> задача про кареглазых/голубоглазых туземцев

Напомнило парадокс неожиданной казни:

Однажды в воскресенье начальник тюрьмы вызвал преступника, приговорённого к казни, и сообщил ему:
Вас казнят на следующей неделе в полдень.
День казни станет для вас сюрпризом, вы узнаете о нём, только когда палач в полдень войдёт к вам в камеру.
Начальник тюрьмы был честнейшим человеком и никогда не врал.
Заключённый подумал над его словами и улыбнулся: «В воскресенье меня казнить не могут! Ведь тогда уже в субботу вечером я буду знать об этом. А, по словам начальника, я не буду знать день своей казни. Следовательно, последний возможный день моей казни — суббота. Но если меня не казнят в пятницу, то я буду заранее знать, что меня казнят в субботу, значит, и её можно исключить». Последовательно исключив пятницу, четверг, среду, вторник и понедельник, преступник пришёл к выводу, что начальник не сможет его казнить, выполнив все свои слова.
На следующей неделе палач постучал в его дверь в полдень в среду — это было для него полной неожиданностью. Всё, что начальник тюрьмы сказал, осуществилось. Где недостаток в рассуждении заключённого?

Нельзя ли всё-таки полный текст задачи или ссылку на него? Я ведь не все задачи могу вот так запросто опознать.

Пара замечаний.

Примерно в середине становится, имхо, несколько излишне заморочено („Впрочем, есть и более извёрнутый способ разрешения...“), не помешало бы более плавно подвести читателя к проблеме, например, привести там же примеры с Васей и Петей.

Ну и, возможно, стоило бы сделать оговорку, что всякие такие рекурсивные и самореферентные высказывания интересны и рассматриваются, скажем, в анализе естественных языков и в сопутствующих вариантах логики. Ошибкой является объявление их парадоксами в обычной формальной логике.

Когда нам читали физику в институте, на лекциях приводили эти парадоксы как решаемые в рамках квантовой теории, что пространство дискретно и его нельзя делить на бесконечно малые, в математическом смысле величины.

Б-же, каких только глупостей не говорят на современных курсах - заместо того, что-б хоть немного подумать...

> Парадоксальную фразу «это утверждение — ложно» и ей подобные тоже можно разрешить вышеуказанным запретом на противоречивые системы базовых утверждений. Но, кроме того, и запретом на бесконечную рекурсию — в дополнение к требованию о непротиворечивости утверждений: если система высказываний при попытке проанализировать некое утверждение на истинность в её рамках приводит к бесконечной рекурсии, то данное утверждение просто не определено относительно данной системы утверждений.

“So, she design you to talk?” I asked.

Silence.

“This statement is false,” I told it.

“I’ll go with true. There, that was easy,” Azazel replied.

Damn. Wouldn’t be able to shut it down with paradox.

Для меня вот до конца не понятно, что же написано на футболке капитана Очевидность. =)

> что же написано на футболке капитана Очевидность

Bicycle repairman, вестимо.

> не следует, что он её не догонит никогда

Можно и совсем просто — догонит, это окажется на расстоянии ɛ ;-)

>> А есть ли у вас такого рода примеры, которые ставят вас в тупик? <<

Есть пример не из логики, а из физики; недавнего поставивший меня в тупик. Вопрос: "Может, ли солнечный зайчик двигаться быстрее скорости света?".

Я был оч. удивлён, что может. И вот, вроде, мне разжевали почему, и я даже понял, но... всё равно, остался на душе какой-то дискомфорт, эдакое чувство: "Чую, обманули, ухари; но не знаю где". Я понял, фокус в том, что информация (энергия) при сверхсветом движении не передаётся, но...

Солнечный зайчик просто не является материальным объектом. Это — объект, воспринимаемый исключительно нашим сознанием, которое пытается найти некие закономерности. Примерно как персонаж компьютерной игры, которого нам показывают через монитор: его тоже можно показать на экране движущимся быстрее скорости света.

  • 1