?

Log in

No account? Create an account

Предыдущий пост Поделиться Следующий пост
Квадратные уравнения и вообще математика
lex_kravetski
Почему вам в школе была непонятна алгебра? Потому что у вас нет способностей?

На самом деле, способностей у вас вполне достаточно, и если выбрать иной подход, то вы без проблем за несколько минут поймёте то, на понимание чего вам не хватило одиннадцати лет в школе и потом ещё пяти в институте.

В данной передаче этот подход иллюстрируется на примере выведения формулы нахождения корней квадратного уравнения. Оказывается, что формула, получение которой казалось чем-то из области чёрной магии, может быть получена буквально за пару–тройку доступных любому шагов.

Но и не только она — более сложные формулы вам тоже подвластны: надо лишь только найти правильный способ рассуждений и воспользоваться современными технологиями.

О преимуществе такого подхода и вообще о «философии математики» тоже заходит речь в передаче.


  • 1
> Там берётся такое уравнение, которое мы могли бы решить

Таких уравнений много. Например, (px + q + r) ^ 2 = 0 или (px^2 + q)^2 = r. Но мы выбрали из некоторых соображений такое, которое скорее всего хорошо сведется к нужному нам. В "школьном" методе аналогично принято решение попробовать выделить полный квадрат.

"Угадывание" - это, конечно, гипербола. Просто никакой другой "черной магии" в выводе решения не видно. Остальная часть - это просто пара известных школьникам рутинных переносов. Если их делает "шайтан-машина" магии меньше не станет.

> Эта практика появляется на гипотетических предыдущих занятиях: тут же не с нулевого уровня рассуждения ведутся.

Хорошо. То есть на предыдущих занятиях мы решаем на листочках 500 примеров вида ax = b (ну там 7x = 10, 7x + 3 = 28 - 5x, 5x^2 = 10 + x^2). Ну чтобы уверенно узнавать такие конструкции в любом виде. Верно?

> Зачем?

Чтобы практика выработалась с этим блоком. Потому, что следующие занятия будут предполагать, что мы узнаем квадратные уравнения в любом виде (даже если обозначения букв поменять коварно с x на a, и в разные части слагаемые разнести 3a^2 + 1 = a + a * 3). Помним, сколько у них корней бывает. Помним, что такое дискриминант (формулу можно и не знать наизусть). И можем уверенно просить "Математику" решить нам эти уравнения, понимаем ее решение, можем сделать его sanity check.

> Таких уравнений много. Например, (px + q + r) ^ 2 = 0 или (px^2 + q)^2 = r. Но мы выбрали из некоторых соображений такое, которое скорее всего хорошо сведется к нужному нам.

Ну так на практике мы бы попробовали несколько и выбрали то, которое можно свести. Причём в Mathematica пробовать такое было бы быстро.

В частности, мы узнали бы, что первый вариант по смыслу тождественен просто (px + z)2 = 0.


> То есть на предыдущих занятиях мы решаем на листочках 500 примеров вида ax = b

Конечно, нет. На листочках мы не решаем вообще ничего и никогда. Мы, конечно, пробуем преобразовать софтом несколько выражений с подставленными числами — чтобы посмотреть, что можно сразу уже преобразованный вариант использовать. Но в основном мы бы пробовали преобразовывать в софте всевозможные комбинации операций.

(a + b) x = с
ax + (b/c)x = d
и т.п.

С подставленными числами и без. Чтобы привыкнуть сразу видеть, какие выражения при помощи этих операций можно преобразовать.

В том числе, преобразовывали бы по шагам — хотя и всё равно при помощи софта.


> Чтобы практика выработалась с этим блоком.

А зачем нам практика преобразований вручную? На случай апокалипсиса?


> Помним, что такое дискриминант

Вот это, кстати, вообще бесполезное знание. Точнее, до некоторой степени вредное. Сейчас многие люди помнят это слово, но никто из них не понимает, что это просто — фрагмент выражения. Который в совершенно штатном порядке задаёт область определения.


> И можем уверенно просить "Математику" решить нам эти уравнения

Мы и так можем. Для этого надо всего-то на каждой теме отключать ту функциональность, которая относится к будущим темам.

> Ну так на практике мы бы попробовали несколько и выбрали то, которое можно свести. Причём в Mathematica пробовать такое было бы быстро.

Скорее всего ты не пробовал же бессистемно разные уравнения, верно? Мне кажется, ты хорошо представлял в уме, что (...x + ...)^2 - это x^2 + ...x + ... . Поэтому с первой попытки "увидел" подходящую функцию.

Этот навык приходит не только с теорией (выучили формулу квадрата суммы), но и с практикой. Я полагаю, что многим людям нужно самостоятельно пятьдесят раз раскрыть скобки, чтобы они научились осознанно с квадратами суммы манипулировать (прежде всего в голове). Смотреть, как софт их преобразует - недостаточно.

Примерная аналогия: если ты пишешь текст на испанском, то нет проблем нагуглить нужную тебе структуру предложения или неизвестное слово. Но если ты не разговаривал много на уроках разными шаблонными учебными предложениями и не повторял 50 раз одни и те же слова вслух, то гуглить придется каждую мысль, слово и спряжение глагола. В реальном времени писать на языке в этом случае не получится (мысль будет сильно обгонять слово). Но при этом противоположная крайность (на экзамене DELE текст пишется ручкой на листочке, интернетом пользоваться нельзя, автокоррекции нет, нужно считать вручную слова) тоже не соответствует современной практике и здравому смыслу.

Но опыт поставить такой над живыми людьми интересно, да. Надеюсь в ближайшие 30 лет кто-нибудь где-нибудь это сделает.

> Скорее всего ты не пробовал же бессистемно разные уравнения, верно? Мне кажется, ты хорошо представлял в уме, что (...x + ...)^2 - это x^2 + ...x + ... . Поэтому с первой попытки "увидел" подходящую функцию.

Не, я, конечно, знал о раскрытии квадрата суммы — именно поэтому оно там фигурирует, как уже известное к этому моменту. Но нет, я заранее не знал, что форма именно такая. Я именно что подобрал её за несколько экспериментов, просто оно не вошло в конечный монтаж.

Но для кубических уравнений аналогичная часть всё-таки вошла.


> Этот навык приходит не только с теорией (выучили формулу квадрата суммы), но и с практикой.

Можно ж на ходу проверить. Написать несколько вариантов. К каждому приписать Expand — посмотреть, что получается. Я, собственно, так и делал.


> Я полагаю, что многим людям нужно самостоятельно пятьдесят раз раскрыть скобки

Сейчас уже не надо. Есть более продвинутые методы. Как вышеупомянутый, например. И именно они используются на практике.

Ясен перец, никто всю математику целиком не помнит — даже математики. Поэтому, да, «экспериментируешь», смотришь в справочниках какие-то подсказки, всё такое. И вот это — реально полезная штука: не пытаться заучить то, что всё равно через год забудется, а тренироваться быстро находить ответы на возникающие в процессе рассуждений вопросы. И при помощи спец-софта, и при помощи справочников (особенно электронных).


> В реальном времени писать на языке в этом случае не получится (мысль будет сильно обгонять слово).

Я, например, на английском читаю, не задумываясь. И со слуха хорошо понимаю. Но сам говорить не тренируюсь, поскольку негде. Однако при общении с иностранцами где-то так через час мозг подстраивается, и над каждой фразой думать становится уже не особо-то и надо. В этом смысл навыка, а не в том, чтобы пытаться всё запомнить.

> Сейчас уже не надо. Есть более продвинутые методы. Как вышеупомянутый, например. И именно они используются на практике.

Точку зрения и аргументы понял. Согласен с тем, что это не нужно в "обычной жизни" инженера. Не согласен с тем, что это подойдет для преподавания основ арифметики и алгебры (о чем был выбранный пример).

Возможно, это можно ввести в тригонометрии (где есть много просто довольно занудных задач, а навыки уже не так актуальны). Может быть, уже можно пожертвовать ядреными занудными примерами на раскрывание километровых скобок. Наверняка, так нужно работать на первом курсе вуза.

> В этом смысл навыка, а не в том, чтобы пытаться всё запомнить.

В этом смысл "понимания". А навык по википедии - это деятельность, сформированная путём повторения и доведения до автоматизма.

Вот, например, мой случай такой:
- Английский я знаю хорошо. Много разговаривал и разговариваю. Поэтому, если бы мне пришлось, объяснять, для чего нужен Wolfram Alpha, у меня была бы куча шаблонных фраз и вариантов. Ну, например, "It makes it possible ...", "I recommend you try ...". Не говоря уже о том, что проблем с временами бы не было.
- Испанский я знаю, гм, не так хорошо. Вот, скажем, аналог te recomiendo que в памяти всплывает легко. А вот разговорный аналог it makes it possible уже пришлось бы неуклюже конструировать на ходу из известных глаголов (permitir?, hacer posible?) - и всю эту хрень еще осознанно спрягать. То, что я на письме эти фразу легко пойму никак мне в речи не поможет, если нет активного запаса конструкций.

В результате я могу вести серьезные рабочие переговоры по-английски. Уровень навыка позволяет сфокусироваться только на мыслях, и не заниматься лингвистикой. Хотя, писать предпочитаю с проверкой орфографии, например.

А по-испански пока нет. Если я так буду клиенту продавать какую-то идею, он заскучает. Навыка не хватает.

И главное, даже вот написать письмо по-испански - непрактично (даже при том, что есть google translate и spanishdict). Просто потому, что каждое предложение приходится перепроверять, гуглить, чтобы было корректно выражена мысль, не напутаны времена. То есть даже с годным инструментом отсутствие навыка не позволяет эффективно работать.

> Согласен с тем, что это не нужно в "обычной жизни" инженера. Не согласен с тем, что это подойдет для преподавания основ арифметики и алгебры (о чем был выбранный пример).

Да это ни в чьей жизни не нужно. Это миф — что какие-то особые специалисты сначала всё заучивают наизусть и только потом начинают работать по специальности. Так не делает никто. Никто не запоминает сразу всего: люди осознают идеи, а запоминают конкретные вещи только во время практического применения. Если же чем-то не пользоваться год, то оно забывается. Но если сама идея понятна, то восстановить не особая проблема.

Я, например, — двадцать пять лет программист. И всё равно постоянно смотрю в гугле, как делается что-то, что я уже когда-то делал. Или как что-то называется.

И во всех остальных вещах ровно так же. Да, блин, я не особо-то помню, где что в программах, которые я сам же полгода назад написал. Или где в моём же видеопроекте какая-то настройка, которую я же и сделал.

Поэтому заучивать что-то в школе просто бесполезно. Даже те, кто хорошо заучит, а потом пойдёт работать по специальности, если между этим будет промежуток в использовании, забудут.

Тренироваться надо другому: умению искать решения, умению использовать инструменты, умению быстро находить нужную информацию.


> Уровень навыка позволяет сфокусироваться только на мыслях, и не заниматься лингвистикой.

Попробуй не говорить на нём пару лет. Через два года внезапно выяснится, что говоришь ты уже не так свободно.

У меня знакомая американка в России полтора года прожила. Так вот, когда она вернулась в США, у неё были некоторые проблемы с английской речью. Хотя это вообще её единственный родной язык. И образование у неё с лингвистикой связано.

  • 1