Вы хорошо объясняете отрицание, но, по-моему, у вас грубая ошибка в примере с медведем. !A=False if A=True - это условие соблюдается для цветов медведей: если медведь - красный, то он точно не зеленый. !A=True if A=False - а вот это условие никак не соблюдается. Если медведь не красный - это никак не означает, что он - зеленый. Так что уже из этого определения понятно, что второе утверждение не является отрицанием первого.
>Я не большой сторонник обнаружения еще какой-то логики кроме формальной. Мне кажется, что этого пункта достаточно.
Достаточно для чего? Противоречия - источник развития. Формальная логика не позволяет выразить противоречие, т.к. для этого нужно высказать два прямо противоположных суждения и сказать что они оба true. Хотя для школы, действительно, достаточно было бы и этого курса.
Любая логика — троичная, нечёткая и т.п. — сводимы к формальной логике: существует набор преобразований, однозначно переводящих утверждения из одной в другую. Любая иная логика, таким образом, является некой «надстройкой» над формальной. Мы ввели некоторое количество функций в формальной логике, придумали им короткие обозначения и пользуемся результатом для ускорения рассуждений.
А противоречия в природе выражаются суждением «есть такое-то противоречие»: напоминаю, логика не работает с природными объектами, она работает с суждениями.
> И хотелось бы узнать мнение докладчика по ситуации с логикой в теории эволюции.
С логикой в теории эволюции всё прекрасно. Именно поэтому, кстати, статья по ссылке начинается с перечисления всего того обидного, чего сказали сторонники теории эволюции в адрес верующих: ведь потенциально верующего читателя надо эмоционально подготовить к тому, что сторонники — плохие. Иначе дальнейшие аргументы могут показаться слишком слабыми даже для ангажированных читателей.
Чтобы подтвердить существование эволюции, вообще говоря, достаточно всего двух положений:
1. Генетические алгоритмы действительно приводят к адаптации особи под среду (это проверяется простой компьютерной моделью — действительно сходятся) 2. ДНК и среда, в которой проживают наделённые ей организмы, соответствует условиям генетического алгоритма (соответствует — это следует из массы наблюдений за ДНК и средой)
При этом подтверждений гораздо больше, чем два, хотя и этих двух бы уже хватило, чтобы противостоять альтернативам, которые не подверждены вообще ничем, кроме «честного слова» со стороны читателей некой священной книги.
Научный метод, он не про то, как выбрать идеальную теорию. И не про то, что теорию надо отвергнуть, если она не идеальна. Он про то, как выбрать наилучшую теорию среди известных. Поэтому для противостояния синтетической теории эволюции мало сообщить, что «вот тут натяжка», «вот тут — белое пятно», «вот тут непонятно, насколько хороша предсказательная сила». Для противостояния надо предложить теорию, которая лучше согласуется со всеми имеющимися данными и обладает большей предсказательной силой.
Рассуждение «СТЭ имеет слабую предсказательную силу, поэтому верен креационизм» ошибочно с точки зрения научного метода. Чтобы сделать такое заключение, надо доказать, что у креационизма в перечисленных случаях предсказательная сила выше.
РЕШЕНИЕ ПАРАДОКСОВ: 1. «Что было раньше: яйцо или курица?»
Даются два понятия «ЯЙЦО» и «КУРИЦА» и в РЯДУ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО РАЗВЁРТЫВАЕМЫХ ПОНЯТИЙ (РПРП) требуется найти понятия предшествующие к каждому из них.
В РПРП для "ЯЙЦА" предшествующим является "КУРИЦА", ибо понятием «эмбрион» (или другими ) не интересующим нас по постановке вопроса мы можем пренебречь.
В РПРП для "КУРИЦА" пренебрегаемым понятием является «цыплёнок», но не «треснувшееся яйцо (из которого старается вылупиться цыплёнок)», ведь в постановке вопроса не акцентировано внимание на обязательности рассмотрения лишь яйца целостного состояния, т. е. для "КУРИЦА" предшествующим является не то понятие на котором акцентирован вопрос, а его разновидность. ВЫВОД: "КУРИЦА"
2. Даётся понятие "Недвижущегося (Ахиллес)" , который не состоит в РПРП и отсутствие динамического состояния у которого завуалировано перемещениями, которую следуя Зенону производим и мы переставляя это понятие на предыдущие позиции в РПРП понятия "Движущегося (черепаха)" - вот в этом и вся загадка этого апория Зенона. В такой постановке вопроса даже Усейну Болта не тягаться с черепахой...
Проверим, в каких комбинациях истинности A и B эти утверждения выполняется:
A = False, B = False: (1) выполняется, (2) не выполняется A = False, B = True: (1) выполняется, (2) выполняется A = True, B = False: (1) выполняется, (2) выполняется A = True, B = True: (1) не выполняется, (2) выполняется
Пересечение (1) и (2) истинно во втором и третьем случае. Утверждение B = !A (если мы понимаем отрицание так, как это делает логика) тоже истинно во втором и третьем случае. Следовательно, пересечение (1) и (2) эквивалентно утверждению B = !A, так что определение отрицания из 00:24:17 дает результат, соответствующий классическому пониманию отрицания.
Вот что было бы неверно, так это следующее определение отрицания:
"Если A верно, то B неверно. Если B верно, то A неверно. Такое B называется отрицанием для A."
И к этому неверному определению подошел бы пример про разноцветных медведей.
А вот для (A ^ B) | C дистрибутивность действительно не работает - наверное, там должно быть оно?
3. На 00:26:31 можно проще: a принадлежит (!X | Y). С точки зрения операций над множествами это будет дополнение разности.
4. На 00:28:03 вводится неудачная нотация, в которой привычные символы имеют непривычное значение - я говорю про стрелку. На 00:27:00 стрелка объясняется как "следует", но если теперь проинтерпретировать запись на 00:28:03 согласно этому (классическому) смыслу стрелки, то получится высказывание "существует x, для которого из <x принадлежит X> следует <x принадлежит Y>". В то время как имеется в виду "существует x, для которого x принадлежит X и x принадлежит Y".
Т. о. вместо стрелки (операция следования) должна быть операция логического И. Или там должен быть нейтральный символ-разделитель, который отделяет запись квантора (в которую в этом варианте включается множество X) от записи высказывания ("x принадлежит Y") и проговаривается как "выполняется" или "такое, что", в зависимости от квантора; у нас в университете для этого использовалось двоеточие.
> Про "неправильное" отрицание и разноцветных медведей в комментариях уже было сказано, могу только повториться - там ошибка.
Не надо путать операцию «следование» с другими операциями. Про неё специально так долго рассказывается, поскольку люди часто неправильно её понимают.
> 2. На 00:24:17 неверное утверждение о том, что нельзя раскрыть (A & B) | C. Очень даже можно, это равно (A | C) & (B | C)
Да, тут неправильно сказано. Раскрыть можно. Имелось в виду, что нельзя раскрыть для упрощения операции — это и так уже максимально простой вид.
> На 00:26:31 можно проще: a принадлежит (!X | Y). С точки зрения операций над множествами это будет дополнение разности.
Да, так можно, но это сделано для сохранения идентичности с объяснением про построение множества для операции следования на 19:10. А сама операция в «не упрощённом» виде поясняет чуть раньше матрицу этой операции. Упростить, да, можно, но объяснять тогда будет тяжелее.
> 4. На 00:28:03 вводится неудачная нотация, в которой привычные символы имеют непривычное значение - я говорю про стрелку. На 00:27:00 стрелка объясняется как "следует", но если теперь проинтерпретировать запись на 00:28:03 согласно этому (классическому) смыслу стрелки, то получится высказывание "существует x, для которого из следует ". В то время как имеется в виду "существует x, для которого x принадлежит X и x принадлежит Y".
Это таки правда операция следования. Хотя для многих, кто с этими операциями познакомился на матанализе, выглядит непривычно. Более полная запись:
∃ x : x∈X → x∈Y
> Т. о. вместо стрелки (операция следования) должна быть операция логического И.
5. На 00:32:30 озвучивается неверное (с точки зрения логики) высказывание: "если все медведи не красные, то существуют не красные медведи". Это высказывание верно только в предположении, что множество медведей вообще непустое, а это предположение нигде не оговаривается.
Перед этим проговаривается, что "существуют не красные медведи" - это частный случай отрицания "не существует красных медведей", а в презентации написано, что это "частное следствие". Тут смешиваются понятия "следствие" и "частный случай", что приводит к путанице, если мы проинтерпретируем "частный случай" в применении к медведям, а не к множеству высказываний. Ну и, как написано выше, следствия там никакого нет.
6. При рассмотрении следствий противоречивых суждений (с 00:42:40) в определенный момент (на 00:43:48) получается когнитивный диссонанс: как это A & !A тождественно ложно, но при этом и истинно тоже (т. к. мы приняли, что A и !A истинны)? Получается, что нарушается один из законов логики, а-а-а, все пропало, как же он может нарушаться! Получается, что мы теперь вообще вне логики!!!
Тут мы встречаемся с той проблемой, что бытовая логика рассуждений, в которой мы можем зафиксировать истинность или ложность высказываний и делать из этого выводы об истинности или ложности каких-то других высказываний, не может быть применена, и нужно переходить к строгой формализации: аксиомы, правила вывода, все дела. И именно в рамках этой строгой формализации получить выводимость всего чего угодно из противоречивых посылок. (Впрочем, насколько я помню, в одной из формализаций логики эта выводимость всего из противоречия просто-напросто зафиксирована как одно из правил вывода.) Но здесь на это даже намека не делается.
Собственно, весь этот фокус с доказательством C можно проделать гораздо проще и красивее (и видимо абсурднее): C & !C == False == A & !A, но по предположению A = True и !A = True, так что A & !A = True, отсюда C & !C = True, поэтому C = True (ну и !C = True, в качестве бонуса).
Ну и вывод, который написан в презентации на 00:45:23 - "такой набор суждений никогда не может принять значение True" - должен быть пояснен: термин "принять значение" имеет смысл, когда мы говорим не о высказываниях, а о некоторой реальности, действительной или вымышленной (насколько я помню, это называется моделью). Так что в нематематических терминах лучше было бы сформулировать "такой набор суждений не может стать истинным ни в каком действительном или вымышленном мире, подчиняющемся законам логики".
> 5. На 00:32:30 озвучивается неверное (с точки зрения логики) высказывание: "если все медведи не красные, то существуют не красные медведи". Это высказывание верно только в предположении, что множество медведей вообще непустое, а это предположение нигде не оговаривается.
Все операции с кванторами принципиально рассматриваются для непустых множеств. Если медведей, например, вообще не существует (множество медведей — пустое), то истинность исходного высказывания «все медведи — красные» вообще не определена.
> Перед этим проговаривается, что "существуют не красные медведи" - это частный случай отрицания "не существует красных медведей", а в презентации написано, что это "частное следствие". Тут смешиваются понятия "следствие" и "частный случай", что приводит к путанице, если мы проинтерпретируем "частный случай" в применении к медведям, а не к множеству высказываний. Ну и, как написано выше, следствия там никакого нет.
Не. Тут всё правильно. Если не существует красных медведей, то одно из следствий этого — «существуют не красные медведи». Поскольку множество медведей не пустое (а оно не пустое, если речь идёт о кванторах), и все медведи не красные, то из того, что все медведи не красные, действительно, в частности, следует, что существуют не красные медведи.
> Тут мы встречаемся с той проблемой, что бытовая логика рассуждений, в которой мы можем зафиксировать истинность или ложность высказываний и делать из этого выводы об истинности или ложности каких-то других высказываний, не может быть применена, и нужно переходить к строгой формализации: аксиомы, правила вывода, все дела.
Да вполне может. Одновременно истинные A и !А там включены в первый пункт для простоты построений. На деле же бывает, что в явном виде в наборе аксиом такое не фигурирует, но, тем не менее, набор аксиом таков, что из него можно вывести истинность и А и !A. А потом проделать, например, такой трюк, как тут показано. Только замаскировать его получше, чтобы не каждый догадался.
Тут, собственно, поясняется, по какой причине ставится требование о непротиворечивости системы аксиом: потому что из противоречивой вот таким вот способом доказывается истинность абсолютно любого суждения.
!A=False if A=True - это условие соблюдается для цветов медведей: если медведь - красный, то он точно не зеленый.
!A=True if A=False - а вот это условие никак не соблюдается. Если медведь не красный - это никак не означает, что он - зеленый. Так что уже из этого определения понятно, что второе утверждение не является отрицанием первого.
Обязательно ждём записи следующих лекций.
Edited at 2015-11-17 08:45 (UTC)
Достаточно для чего?
Противоречия - источник развития. Формальная логика не позволяет выразить противоречие, т.к. для этого нужно высказать два прямо противоположных суждения и сказать что они оба true.
Хотя для школы, действительно, достаточно было бы и этого курса.
А противоречия в природе выражаются суждением «есть такое-то противоречие»: напоминаю, логика не работает с природными объектами, она работает с суждениями.
http://livelogic.livejournal.com/5251.html
И хотелось бы узнать мнение докладчика по ситуации с логикой в теории эволюции.
http://livelogic.livejournal.com/5967.html
RE: Ответ на вашу запись "Научный метод. Часть 1: логика"
С логикой в теории эволюции всё прекрасно. Именно поэтому, кстати, статья по ссылке начинается с перечисления всего того обидного, чего сказали сторонники теории эволюции в адрес верующих: ведь потенциально верующего читателя надо эмоционально подготовить к тому, что сторонники — плохие. Иначе дальнейшие аргументы могут показаться слишком слабыми даже для ангажированных читателей.
Чтобы подтвердить существование эволюции, вообще говоря, достаточно всего двух положений:
1. Генетические алгоритмы действительно приводят к адаптации особи под среду (это проверяется простой компьютерной моделью — действительно сходятся)
2. ДНК и среда, в которой проживают наделённые ей организмы, соответствует условиям генетического алгоритма (соответствует — это следует из массы наблюдений за ДНК и средой)
При этом подтверждений гораздо больше, чем два, хотя и этих двух бы уже хватило, чтобы противостоять альтернативам, которые не подверждены вообще ничем, кроме «честного слова» со стороны читателей некой священной книги.
Научный метод, он не про то, как выбрать идеальную теорию. И не про то, что теорию надо отвергнуть, если она не идеальна. Он про то, как выбрать наилучшую теорию среди известных. Поэтому для противостояния синтетической теории эволюции мало сообщить, что «вот тут натяжка», «вот тут — белое пятно», «вот тут непонятно, насколько хороша предсказательная сила». Для противостояния надо предложить теорию, которая лучше согласуется со всеми имеющимися данными и обладает большей предсказательной силой.
Рассуждение «СТЭ имеет слабую предсказательную силу, поэтому верен креационизм» ошибочно с точки зрения научного метода. Чтобы сделать такое заключение, надо доказать, что у креационизма в перечисленных случаях предсказательная сила выше.
РЕШЕНИЕ ПАРАДОКСОВ:
1. «Что было раньше: яйцо или курица?»
Даются два понятия «ЯЙЦО» и «КУРИЦА» и в РЯДУ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО РАЗВЁРТЫВАЕМЫХ ПОНЯТИЙ (РПРП) требуется найти понятия предшествующие к каждому из них.
В РПРП для "ЯЙЦА" предшествующим является "КУРИЦА", ибо понятием «эмбрион» (или другими ) не интересующим нас по постановке вопроса мы можем пренебречь.
В РПРП для "КУРИЦА" пренебрегаемым понятием является «цыплёнок», но не «треснувшееся яйцо (из которого старается вылупиться цыплёнок)», ведь в постановке вопроса не акцентировано внимание на обязательности рассмотрения лишь яйца целостного состояния, т. е. для "КУРИЦА" предшествующим является не то понятие на котором акцентирован вопрос, а его разновидность.
ВЫВОД: "КУРИЦА"
2. Даётся понятие "Недвижущегося (Ахиллес)" , который не состоит в РПРП и отсутствие динамического состояния у которого завуалировано перемещениями, которую следуя Зенону производим и мы переставляя это понятие на предыдущие позиции в РПРП понятия "Движущегося (черепаха)" - вот в этом и вся загадка этого апория Зенона. В такой постановке вопроса даже Усейну Болта не тягаться с черепахой...
Ошибки и другие проблемы
Если рассмотреть выписанное определение отрицания (написав B вместо !A, чтобы не смешивать "класическое" отрицание и вновь определяемое):
(1) B = False, когда A = True
(2) B = True, когда A = False
На языке логических операций это выглядит так:
(1) (A = True) => (B = False)
(2) (A = False) => (B = True)
Два этих утверждения вместе образуют логическое пересечение:
((A = True) => (B = False)) & ((A = False) => (B = True))
Проверим, в каких комбинациях истинности A и B эти утверждения выполняется:
A = False, B = False: (1) выполняется, (2) не выполняется
A = False, B = True: (1) выполняется, (2) выполняется
A = True, B = False: (1) выполняется, (2) выполняется
A = True, B = True: (1) не выполняется, (2) выполняется
Пересечение (1) и (2) истинно во втором и третьем случае. Утверждение B = !A (если мы понимаем отрицание так, как это делает логика) тоже истинно во втором и третьем случае. Следовательно, пересечение (1) и (2) эквивалентно утверждению B = !A, так что определение отрицания из 00:24:17 дает результат, соответствующий классическому пониманию отрицания.
Вот что было бы неверно, так это следующее определение отрицания:
"Если A верно, то B неверно. Если B верно, то A неверно. Такое B называется отрицанием для A."
И к этому неверному определению подошел бы пример про разноцветных медведей.
2. На 00:24:17 неверное утверждение о том, что нельзя раскрыть (A & B) | C. Очень даже можно, это равно (A | C) & (B | C). Можно убедиться, нарисовав множества, ну и википедия (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B8) подтверждает.
А вот для (A ^ B) | C дистрибутивность действительно не работает - наверное, там должно быть оно?
3. На 00:26:31 можно проще: a принадлежит (!X | Y). С точки зрения операций над множествами это будет дополнение разности.
4. На 00:28:03 вводится неудачная нотация, в которой привычные символы имеют непривычное значение - я говорю про стрелку. На 00:27:00 стрелка объясняется как "следует", но если теперь проинтерпретировать запись на 00:28:03 согласно этому (классическому) смыслу стрелки, то получится высказывание "существует x, для которого из <x принадлежит X> следует <x принадлежит Y>". В то время как имеется в виду "существует x, для которого x принадлежит X и x принадлежит Y".
Т. о. вместо стрелки (операция следования) должна быть операция логического И. Или там должен быть нейтральный символ-разделитель, который отделяет запись квантора (в которую в этом варианте включается множество X) от записи высказывания ("x принадлежит Y") и проговаривается как "выполняется" или "такое, что", в зависимости от квантора; у нас в университете для этого использовалось двоеточие.
Re: Ошибки и другие проблемы
Не надо путать операцию «следование» с другими операциями. Про неё специально так долго рассказывается, поскольку люди часто неправильно её понимают.
> 2. На 00:24:17 неверное утверждение о том, что нельзя раскрыть (A & B) | C. Очень даже можно, это равно (A | C) & (B | C)
Да, тут неправильно сказано. Раскрыть можно. Имелось в виду, что нельзя раскрыть для упрощения операции — это и так уже максимально простой вид.
> На 00:26:31 можно проще: a принадлежит (!X | Y). С точки зрения операций над множествами это будет дополнение разности.
Да, так можно, но это сделано для сохранения идентичности с объяснением про построение множества для операции следования на 19:10. А сама операция в «не упрощённом» виде поясняет чуть раньше матрицу этой операции. Упростить, да, можно, но объяснять тогда будет тяжелее.
> 4. На 00:28:03 вводится неудачная нотация, в которой привычные символы имеют непривычное значение - я говорю про стрелку. На 00:27:00 стрелка объясняется как "следует", но если теперь проинтерпретировать запись на 00:28:03 согласно этому (классическому) смыслу стрелки, то получится высказывание "существует x, для которого из следует ". В то время как имеется в виду "существует x, для которого x принадлежит X и x принадлежит Y".
Это таки правда операция следования. Хотя для многих, кто с этими операциями познакомился на матанализе, выглядит непривычно. Более полная запись:
∃ x : x∈X → x∈Y
> Т. о. вместо стрелки (операция следования) должна быть операция логического И.
Там таки не «и», а «следует».
Ошибки и другие проблемы - 2
5. На 00:32:30 озвучивается неверное (с точки зрения логики) высказывание: "если все медведи не красные, то существуют не красные медведи". Это высказывание верно только в предположении, что множество медведей вообще непустое, а это предположение нигде не оговаривается.
Перед этим проговаривается, что "существуют не красные медведи" - это частный случай отрицания "не существует красных медведей", а в презентации написано, что это "частное следствие". Тут смешиваются понятия "следствие" и "частный случай", что приводит к путанице, если мы проинтерпретируем "частный случай" в применении к медведям, а не к множеству высказываний. Ну и, как написано выше, следствия там никакого нет.
6. При рассмотрении следствий противоречивых суждений (с 00:42:40) в определенный момент (на 00:43:48) получается когнитивный диссонанс: как это A & !A тождественно ложно, но при этом и истинно тоже (т. к. мы приняли, что A и !A истинны)? Получается, что нарушается один из законов логики, а-а-а, все пропало, как же он может нарушаться! Получается, что мы теперь вообще вне логики!!!
Тут мы встречаемся с той проблемой, что бытовая логика рассуждений, в которой мы можем зафиксировать истинность или ложность высказываний и делать из этого выводы об истинности или ложности каких-то других высказываний, не может быть применена, и нужно переходить к строгой формализации: аксиомы, правила вывода, все дела. И именно в рамках этой строгой формализации получить выводимость всего чего угодно из противоречивых посылок. (Впрочем, насколько я помню, в одной из формализаций логики эта выводимость всего из противоречия просто-напросто зафиксирована как одно из правил вывода.) Но здесь на это даже намека не делается.
Собственно, весь этот фокус с доказательством C можно проделать гораздо проще и красивее (и видимо абсурднее): C & !C == False == A & !A, но по предположению A = True и !A = True, так что A & !A = True, отсюда C & !C = True, поэтому C = True (ну и !C = True, в качестве бонуса).
Ну и вывод, который написан в презентации на 00:45:23 - "такой набор суждений никогда не может принять значение True" - должен быть пояснен: термин "принять значение" имеет смысл, когда мы говорим не о высказываниях, а о некоторой реальности, действительной или вымышленной (насколько я помню, это называется моделью). Так что в нематематических терминах лучше было бы сформулировать "такой набор суждений не может стать истинным ни в каком действительном или вымышленном мире, подчиняющемся законам логики".
Re: Ошибки и другие проблемы - 2
Все операции с кванторами принципиально рассматриваются для непустых множеств. Если медведей, например, вообще не существует (множество медведей — пустое), то истинность исходного высказывания «все медведи — красные» вообще не определена.
> Перед этим проговаривается, что "существуют не красные медведи" - это частный случай отрицания "не существует красных медведей", а в презентации написано, что это "частное следствие". Тут смешиваются понятия "следствие" и "частный случай", что приводит к путанице, если мы проинтерпретируем "частный случай" в применении к медведям, а не к множеству высказываний. Ну и, как написано выше, следствия там никакого нет.
Не. Тут всё правильно. Если не существует красных медведей, то одно из следствий этого — «существуют не красные медведи». Поскольку множество медведей не пустое (а оно не пустое, если речь идёт о кванторах), и все медведи не красные, то из того, что все медведи не красные, действительно, в частности, следует, что существуют не красные медведи.
> Тут мы встречаемся с той проблемой, что бытовая логика рассуждений, в которой мы можем зафиксировать истинность или ложность высказываний и делать из этого выводы об истинности или ложности каких-то других высказываний, не может быть применена, и нужно переходить к строгой формализации: аксиомы, правила вывода, все дела.
Да вполне может. Одновременно истинные A и !А там включены в первый пункт для простоты построений. На деле же бывает, что в явном виде в наборе аксиом такое не фигурирует, но, тем не менее, набор аксиом таков, что из него можно вывести истинность и А и !A. А потом проделать, например, такой трюк, как тут показано. Только замаскировать его получше, чтобы не каждый догадался.
Тут, собственно, поясняется, по какой причине ставится требование о непротиворечивости системы аксиом: потому что из противоречивой вот таким вот способом доказывается истинность абсолютно любого суждения.