Предыдущий пост Поделиться Следующий пост
Упругое столкновение
lex_kravetski
Итак, ответ на задачу.

Но сначала ещё раз её условие.

Сталкиваются два тела. Сталкиваются так, что скорости их центров масс до и после столкновения лежат на одной прямой.

Это столкновение можно описать следующей системой уравнений:





Однако такая система имеет два решения:





Мы понимаем, что вселенная после каждого удара не расщепляется. Каким образом, исключить одно из решений?

Должен отметить, что правильный ответ в комментариях действительно был. И это хорошо. Но, с другой стороны, правильных ответов было не стопицот, что приводит меня к выводу: не все сограждане понимают даже относительно простую физику.

Не без удовлетворения скажу, что даже не совсем понимающие пытались это решение искать. Тем не менее, смысл этой задачи как раз в том, чтобы на примере показать: правильное решение задач, вообще говоря, основано не на догадках, а на полном логическом выводе ответа из некоторых предпосылок.

Да, можно рассуждать в стиле: «после столкновения скорости должны были измениться, поэтому первое решение не подходит». Но так можно рассуждать только в том случае, если на вопрос «а почему они должны были измениться?» у вас уже есть готовый или хотя бы быстро обнаружимый ответ. Иными словами, воспользоваться некоторой теоремой можно только в том случае, если вы знаете её доказательство, или знаете, где его быстро найти, или можете его сходу вывести самостоятельно.

В данном же случае, как показал эксперимент, все комментаторы, приводящие это безусловно правильное умозаключение, не могли его обосновать, кроме как при помощи его повторения: «не, ну должны же ведь!».

Увы, «мамой клянус!» в научном методе работает в лучшем случае только для утверждения о том, что вы не подделывали результаты экспериментов. Для логического же вывода такое использовать нельзя.

Каким же, собственно, способом мы можем к этому умозаключению прийти?

Довольно простым. Из условий задачи мы знаем, что тела столкнулись абсолютно упруго. Это позволяет нам заключить, что не было преобразования кинетической энергии в тепло (определение абсолютно упругого удара) — это мы записываем в виде уравнения 2. Кроме того, мы знаем, что закон сохранения импульса выполняется всегда, а столкновение было одномерным. Это нам позволяет записать уравнение сохранения импульса в скалярной форме (уравнение 1).

Однако эти два уравнения описывают состояние системы и до, и после удара.

Поэтому нам надо добавить ещё некоторое количество условий, описывающих вот это самое: столкновение могло произойти и произошло.

Ввиду полной симметричности уравнений порядок нумерации тел может быть произвольным. Занумеруем, для определённости, тело, находящееся левее по нашей единственной оси, индексом 1.

Тогда





Действительно, из того, что столкновение произошло, следует, что скорость сближения тел должна была быть больше нуля. А из того, что столкновение завершилось, следует, что к этому моменту центры масс должны были как минимум перестать сближаться.

Так как мы выбрали инерциальную систему отсчёта, из Первого закона Ньютона следует, что скорости могли меняться только во время столкновения — потому что только в этот момент на тела действовали силы.

Иными словами, добавление двух неравенств в систему даст нам единственный результат касательно скоростей тел после столкновения.

Легко проверить, что решение такой системы уравнений и неравенств действительно даёт единственный результат — первое из ранее указанных решений системы не подходит из-за противоречия неравенствам, второе же, напротив, им удовлетворяет.

Заметьте, что в данном рассуждении мы не вводили никаких умозрительных конструкций, а пользовались только законами физики и условиями задачи. Именно такое решение является полным.


Дополнительные замечания



1. Из векторов в скаляры



Я с удивлением прочитал комментарий, в котором сообщалось, что векторы-де можно отбрасывать только в некой «школьной физике». Как выпускник одного из сильнейших технических вузов мира, я могу констатировать, что некая «школьная физика» не является какой-то отдельной по отношению к «внешкольной». В ней нет каких-то особых законов или правил, которые не применялись бы в физике в целом, — разве что задачи обычно проще.

Подозреваю, данный подозрительный тезис вытекает из специфического отношения некоторых граждан к «сложным научным обозначениям». Так, например, в знаке вектора многим чудится что-то недоступное пониманию простых смертных, но при этом широко используемое крупными умами в монопольном порядке. А потому-де, «обычным способом такого не решить».

Раз уж об этом зашла речь, я на всякий случай поясню.

Уравнение



не содержит никакой особой «внешкольной» магии. На самом деле, оно в трёхмерном случае — краткая запись трёх уравнений:



Индексами x, y и z тут обозначены компоненты векторов скоростей — то есть, проекции вектора скорости на соответствующую ортогональную ось.

Замечу, что это не какое-то особо хитрое преобразование или результаты особо сложных выводов. Это — синонимы. Векторное уравнение — это всего лишь способ записи трёх скалярных.

В одномерном случае мы можем выбрать такую систему координат, что компоненты векторов скоростей по двум осям будут равны нулю — на то он и одномерный случай. По оставшейся оси при этом значение компоненты будет равно скаляру скорости — то есть, длине этого вектора. Таким образом, три уравнения в этом случае превратятся в следующее:



Второе и третье уравнение столь глубокомысленны, что мы не можем извлечь из них никакой информации, поэтому их попросту выкидываем. Первое же уравнение выглядит точно так же, как исходное векторное, у которого стёрли значки векторов.

Всё это на практике приводит к правилу: «в одномерном случае можно просто убрать знаки вектора из уравнения».


2. Количество уравнений



Тот же комментатор поразил меня второй раз, сообщив, что для вычисления искомых скоростей достаточно только закона сохранения импульса, а закон сохранения энергии можно не рассматривать.

Должен сказать, что и в «школьной» и во «внешкольной» математике одно линейное уравнение с двумя неизвестными, что в векторной, что в скалярной форме имеет бесконечное количество решений. При этом мы должны отдавать себе отчёт, что тела в классической механике не разлетаются после удара с бесконечным количеством скоростей, а имеют каждое свою одну и только одну скорость.

То есть, одного уравнения нам заведомо мало.



doc-файл

  • 1
Механическая модель, где реализуется

Механизм с пружиной летит "вперед" и налетает на шарик, пружина сжимается. Далее энергия пружины используется для отбрасывания шарика "назад".




Edited at 2015-10-19 15:36 (UTC)

Этот вариант нельзя считать тем «столкновением», о котором идёт речь в физике, поскольку задействуется механизм, разворачивающий систему, а его должно что-то подпитывать.

>Этот вариант нельзя считать тем «столкновением», о котором идёт речь в физике, поскольку задействуется механизм, разворачивающий систему, а его должно что-то подпитывать.

Разворачивать не обязательно. При столкновении надо фиксировать левый конец пружины (в шарик упираемся правым), затем, когда пружина сожмется, его освободить и зафиксировать правый. Еще надо хитро шарик "передать" между концами пружины, но это механически вполне представимо. Не автомат Калашникова, чай.

Одним только импульсом столкновения такого добиться невозможно. Поскольку в одномерном случае импульс имеет только одну ненулевую компоненту. Из этого следует, что любое движение без внешней подпитки возможно только по этой одной оси. По другим осям ничего не задвигается. Либо же удар должен происходить «под углом», но тогда закон сохранения импульса без механизма не будет одномерным.

>Поскольку в одномерном случае импульс имеет только одну ненулевую компоненту. Из этого следует, что любое движение без внешней подпитки возможно только по этой одной оси.По другим осям ничего не задвигается.

Если пространство одномерное, то такое умозаключение избыточно, других осей нет по определению. Но я не представляю, какова аксиоматика возможной автоматики на одномерном пространстве. Если же осей побольше, то не вижу препятствий для конверсии части движения по оси x в ось y, естественно, по y будут двигаться две части механизма в противоположные стороны, чтобы импульс оставался нулевой.

Возможно, тут будет, как с демоном Максвелла - часть энергии будет неизбежно тратится на управление автоматикой, интересно, каковы потери. Интуитивно кажется, что при уменьшении размеров частей механизма потери асимптотически будут стремиться к нулю... Возможно, тут все дело упрется в квантовые эффекты :)

Вот еще такой вариант, если возможен цилиндр, у которого торцы попеременно открываются-закрываются. Цилиндр летит вправо с открытым правым торцом, "поглощает" шарик, шарик ударяется в левый торец и отлетает вправо. Правый торец закрывается, левый закрывается, шарик ударяется в правый торец и вылетает из цилиндра влево.

RE: Ответ на ваш комментарий к записи "Упругое столкнове

Такое технически возможно сделать, но столкновений будет уже два. Хотя мы, конечно, можем подправить терминологию и рассматривать всю систему как «чёрный ящик». При этом нам придётся ещё что-то доопределить, чтобы считать это именно столкновением, а не пролётом одного тела через дырку в другом.

А обратимость относительно времени? :)
Если даже u1 < u2, столкновение все равно может произойти!
В прошлом.

Так что... :)

У нас система обозначений привязана к моменту столкновения. u — скорости до него, а v — после. Поэтому нам тут обратимость времени никаким боком.

Edited at 2015-10-19 18:30 (UTC)

RE: Ответ на ваш комментарий к записи "Упругое столкнове

До того в том направлении, в котором после может произойти столкновение.

И эти нелогичные люди собираются каждые пару лет на выборы? NOWAY

Два соображения

1. Для рассмотрения пространственного случая достаточно трёх уравнений, так как всегда существует плоскость, в которой лежат и начальные, и конечные импульсы частиц.

2. Неоднозначность при пространственном рассмотрении действительно неразрешима. Но некоторые закономерности присутствуют, скажем, если массы частиц равны и одна из до столкновения покоилась, то их импульсы после столкновения будут ортогональны (частицы разлетятся под прямым углом).

RE: Два соображения

> 1. Для рассмотрения пространственного случая достаточно трёх уравнений, так как всегда существует плоскость, в которой лежат и начальные, и конечные импульсы частиц.

Если столкновение происходит не по линии центров масс — не обязательно. Плоскости может и не быть. Четыре вектора вовсе не обязательно лежат в одной плоскости.

> 2. Неоднозначность при пространственном рассмотрении действительно неразрешима. Но некоторые закономерности присутствуют, скажем, если массы частиц равны и одна из до столкновения покоилась, то их импульсы после столкновения будут ортогональны (частицы разлетятся под прямым углом).

Не понял, какая неоднозначность? В трёхмерном случае всё тоже однозначно вычисляется.

Re: Два соображения

1) Это так. Я просто рассматривал случай, когда одно из тел до столкновения неподвижно, и тогда начальный импульс и «вилка» конечных импульсов компланарны. В системе центра масс начальные и конечные вектора также компланарны.

2) Мы не можем заранее предсказать, каким будет, например, угол отклонения «падающей» частицы даже в простейшем случае лобового соударения точечных частиц. Нецентральное соударение точечных частиц, очевидно, сводится к задаче двух тел (например, гравитационной или электромагнитной). Если же частицы неточечные (например, бильярдные шары), то часть энергии перейдёт во вращение, часть потеряется на трение скольжения, и конечный результат будет сильно зависеть от упругих свойств и коэффициентов трения сталкивающихся тел.

Re: Два соображения

> Я просто рассматривал случай, когда одно из тел до столкновения неподвижно, и тогда начальный импульс и «вилка» конечных импульсов компланарны. В системе центра масс начальные и конечные вектора также компланарны.

Ну, если одно из тел неподвижно, то да, будут в одной плоскости.

> Если же частицы неточечные (например, бильярдные шары), то часть энергии перейдёт во вращение, часть потеряется на трение скольжения, и конечный результат будет сильно зависеть от упругих свойств и коэффициентов трения сталкивающихся тел.

Мы ж решаем теоретическую задачу. В ней все необходимые входные данные имеются. Возможно, нам придётся дополнить систему — добавить закон сохранения момента импульса и т.п., — но решение у неё всё равно есть, и оно без неопределённости.

Да и на практике, вообще говоря, с определённой точностью задача решается.

  • 1
?

Log in

No account? Create an account