?

Log in

No account? Create an account

Предыдущий пост Поделиться Следующий пост
Кой-чего про формальную логику и научный метод
lex_kravetski
Зашёл тут разговор про пример с шариками. А именно, какое суждение мы должны вынести, если много-много раз мы вытаскивали шарики из мешка и всё время они оказывались белыми.

Формальная логика подсказывает нам вариант: «в мешке есть белые шарики». Или «были» — если мы не возвращаем вытащенные шарики обратно.

Второй, естественнонаучный вариант: «в мешке все шарики белые».

Который правильный? А это зависит от нашей цели. Если цель вынести верное во всех возможных случаях суждение — правильный тот, который из формальной логики. Действительно, неожиданно вытащенный из мешка чёрный шарик всё равно не сделает суждение неверным.

Однако на практике нам не надо верное во всех случаях суждение. Нам надо суждение, обладающее наибольшей предсказательной силой. Что это означает? Это означает, что если бы мы играли в некую игру, где за правильный прогноз нам дают призовые баллы, а за неправильный их отнимают, то следующая из суждения стратегия принесла бы нам как можно больше баллов. Научные суждения (теории) должны соответствовать как раз такому критерию.

Именно по этой причине мы используем второй вариант: он даёт нам наибольший выигрыш в каждой отдельной игре. Но тут тонкость. Почему выигрыш наибольший во втором случае? Объясняю. Первый вариант подразумевает, что могут быть и не белые шарики. Что это нам даёт в плане стратегии? Как максимум возможность при угадывании следующего вытащенного шарика вместо «будет белый» говорить «будет не белый». В ином случае мы будем ровно так же всегда говорить «будет белый», как и при втором суждении, что сделает гипотезу о существовании не белых шариков излишней — на одну гипотезу больше, а стратегия та же.

Для определённости в мешке 99 белых шариков и один чёрный. Вытаскиваем без возврата. При регулярном ответе «будет белый» мы гарантированно угадаем в 99 случаев из ста. Если же мы, например, будем один раз ответим «будет чёрный», то с большой вероятностью (99/100) выиграем только в 98-и случаях (не угадав один из белых и один чёрный) и с малой вероятностью (1/99) выиграем в ста случаях. Понятно, что для малого числа игр мы скорее всего выиграем меньше, чем при регулярном ответе «будет белый».

Вывод становится особенно очевидным, если взять соотношение, например, 999 999 999 белых и один чёрный. Тут шансы на выигрыш в каждой отдельной игре цвета всех шариков очевидно мизерные и нас почти наверняка ожидает 999 999 998 угадываний.

Более точный, формальнологический вариант при большом количестве игр будет нам давать 98 баллов в 99 играх и 100 — в одной. Что даст средний выигрыш порядка 98.02 за игру против 99 при естественнонаучной стратегии.

На практике мы через некоторое время и так уже будем обладать некоторым количеством новых знаний (просто потому, что проводим эксперименты) — это позволит нам скорректировать стратегию. Отсюда и вытекает практическое превосходство второго, «категоричного» варианта над первым. Само собой, если с самого начала он даст сбой, мы его пересмотрим, но до сбоя, априорно этот вариант — наилучший.

Осторожность не всегда свидетельство мудрости.

Данный пример иллюстрирует один важный тезис: формальная логика предназначена для операций с суждениями, а не анализа явлений. Иногда с анализом явлений её методы тоже работают, но, как показывает пример, не всегда. Аксиомы и теоремы связываются между собой формальной логикой, поскольку они — суждения, однако явления не следует связывать между собой этим способом. Для анализа явлений используются другие методы.
Метки:

  • 1
Философия философией, а есть и математика. В частности, теория вероятностей.
И доказано, как математическая теорема, что всегда надо ставить на тот вариант, в котором матожидание выигрыша наибольшее. При этом в среднем достигается наилучший результат.

В данном случае (1 черный шарик и 99 белых), если за угадывание получаем +1, а за неугадывание -1, за 100 игр, если всегда предсказываем белый, матожидание выигрыша 98 (+99 -1).
Если же мы в 99 случаях предсказываем белый, матожидание выигрыша за эти 99 раз равно 98*0,99=97,02. А за 1 раз, который предсказываем черный, матожидание выигрыша = -0,98 (за 100 раз матожидание выигрыша =-98, за 1 раз в 100 раз меньше). Итого матожидание выигрыша 96,04, то есть строго меньше чем если всегда предсказывали белый.
Предполагается (чтобы не усложнять задачу) такой вариант игры - мы предсказываем сразу для всех 100 раз, потом начинают вынимать шарики и фиксируют каждый раз, совпадает ли с нашим очередным предсказанием.

Re: Ответ на вашу запись...

> Философия философией, а есть и математика.

Тэг «философия» у меня в журнале носит всё, имеющее отношение к философии, науке и прочему подобному. Чтобы сократить число тэгов.

> В частности, теория вероятностей. И доказано, как математическая теорема, что всегда надо ставить на тот вариант, в котором матожидание выигрыша наибольшее.

Ну так а то! Именно поэтому и считают выполняющееся на всех корректно поставленных экспериментах выполняющимся всегда. До тех пор, пока оно однажды не не выполнится.

Если опыт опровергает научную теорию, то теория признается неверной.
Или я в чем-то неправ?
Почему категоричное и неверное утверждение, что все шарики в мешке белые, не заменить на верное: "исходя из результатов опыта, вероятность вытащить белый шарик можно оценить таким-то образом"?

Re: Ответ на вашу запись...

> Если опыт опровергает научную теорию, то теория признается неверной. Или я в чем-то неправ?

Да.

> Почему категоричное и неверное утверждение, что все шарики в мешке белые, не заменить на верное: "исходя из результатов опыта, вероятность вытащить белый шарик можно оценить таким-то образом"?

Нам не сама по себе вероятность нужна. Нам нужна стратегия. Лучшая стратегия: всегда называть белый. Простейшая гипотеза, из которой эта стратегия следует: в мешке только белые шарики. Для этого примера оно вот так.

Но если бы расклад поменялся (например, неугаданный не белый шарик по какой-то причине давал бы нам минус миллион баллов), то стратегию пришлось бы как-то менять. И, не исключено, гипотезу тоже.

Только фокус в том, что даже если черный шарик каждый третий, все равно оптимальная по количеству угадываний стратегия постоянно твердить - "белый".

Re: Ответ на вашу запись...

> Только фокус в том, что даже если черный шарик каждый третий, все равно оптимальная по количеству угадываний стратегия постоянно твердить - "белый".

Именно так. Область, когда для нас «все шарики белые» при данных условиях игры простирается аж до половины чёрных от общего количества. Но это объяснять труднее. И труднее через это объяснять, почему в случае ста наступлений события при нуле ненаступлений делают вывод «оно всегда наступает».

Обсуждение не читал. Я бы изначально сказал: абсолютное большинство шариков - белые. Что означает теоретическую возможность попадания чёрного и означает лишь, что 100% ставить нельзя. Я бы от каждого выигрыша откладывал не менее 5%, а ближе к финишу - 25%. Если мешок бесконечный, я бы откладывал 1%.

(Удалённый комментарий)
эксперимент прошу заметить давал белые шарики.
случаев выпадения других шариков не было. (на сколько я помню)

(Удалённый комментарий)
(Удалённый комментарий)
(Удалённый комментарий)
(Удалённый комментарий)

Re: Ответ на вашу запись...

«Априори» — «до опыта». В контексте статьи подразумевается, что пока мы не обнаружили на опыте чёрный шарик, нам не стоит предполагать такую возможность.

Лекс, все верно!! подтверждаю как статистик :)
А теперь предлагаю переложить пример с разных шариков из мешка на разные расы/национальности из жизни и сделать вывод о приобретенных стереотипах.
Что думаешь? Уж не являются ли такие стереотипы результатом описанной тобой стратегии?
i.e., если большинство (или даже все) засвидетельствованных мной в течение жизни представителей некой категории (расы, профессии) носили определенную характеристику Х, то у меня есть основание ожидать Х от следуюшего представителя и изменять свое поведение соответствующе (например, избегать данную категорию вообще)

По жизни все кричат, что приобретенные стереотипы - это плохо, потому что, мол, "один такой - не значит все мы такие!!", при этом они просто не видят статистическую/стратегическую составляющую

Re: Ответ на вашу запись...

Буквально в той статье, где опыт с шариками и появился, в конце как раз идёт пример про отношение к иностранцам.

А если сверху насыпаны белые, а под ними все черные? Как измерить вероятность этого?

Еще ситуация: вы стоите в нескольких километрах за линией фронта и видите бегущих солдат (те, что сражаются на передовой, вам не видны). Вы делаете вывод: большинство солдат в этой армии - трусы

Re: Ответ на вашу запись...

> А если сверху насыпаны белые, а под ними все черные? Как измерить вероятность этого?

Никак.

> Еще ситуация: вы стоите в нескольких километрах за линией фронта и видите бегущих солдат (те, что сражаются на передовой, вам не видны). Вы делаете вывод: большинство солдат в этой армии - трусы

Или, ещё лучше: мы стоим на передовой и видим толпы наступающих солдат. Наивный человек сделал бы предположение «враг наступает». Однако закалённый интеллектуальным трудом сразу сообразит: так нельзя. Вдруг они не наступают, а просто совершенно случайно пошли в одну и ту же сторону? Поэтому лучше заключить «некоторое количество людей в военной форме и с предметами, напоминающими оружие, движется по крайней мере две минуты по направлению, предположительно, области, которую, если мы нигде не ошиблись, некоторые люди, в том числе, иногда по свидетельствам очевидцев, носящие фуражки, считают линией фронта». Тут самое главное: не реагировать. Теоретически ведь возможна и ошибка в предположении.

Lex, вы вместо абстрактных черных-белых шариков,
каких-то теоретических выигрышей-проигрышей и непонятного их количества,
возьмите вполне конкретные лотерейные билеты.

Вы кидаете монетку сто раз и сто раз выпадает "орёл". Какова вероятность того, что в сто первый раз выпадет "орёл"?

Re: Ответ на вашу запись...

Вероятность определена только в рамках модели. Здесь мы не имеем модели, здесь мы имеем статистику. По ней вполне логично предположить, что орёл выпадет с вероятностью 1. Можно ещё сказать, что вероятность не меньше n/n+1 — оценить её нижнюю грань, но если речь про естественную науку, то это уже лишнее.

(Удалённый комментарий)

небольшой вопрос.

Это случайно к "играм с природой" и теории игр не имеет отношения? Ну в ней вообще много забавного.

Re: небольшой вопрос.

Ну совсем напрямую — не имеет. Однако отчасти да.

Вы не указали одно допущение.

Вы опираетесь на допущение, что в случае "неверного" ответа ничего не теряете.
Что некорректно, пока данное допущение не высказано в явном виде.

Re: Вы не указали одно допущение.

Рассмотрим ситуацию с законом всемирного тяготения. Если где-то на Земле он не сработает, то мы можем очень много потерять. И как там у нас с ним дело обстоит? Он «всемирный» или нет?

Вопрос. Две кости, какова вероятность выпадания той или иной комбинации? 1 к 72?

Re: Ответ на вашу запись...

Смотря чего комбинацией называть. Если конкретное число на первой кости и конкретное на второй, то 1/36. Если сумма — для разных чисел разные вероятности.

  • 1