Предыдущий пост Поделиться Следующий пост
Психологические и вероятностные основы «ясновидения»
lex_kravetski

Рассмотрим простейшую и, можно сказать, классическую задачу по теории вероятностей. Имеется у нас в наличии кубик, вероятность выпадения любой пронумерованной грани на нём — 1/6. На данный момент мы абстрагируемся от проверки, действительно ли это так, и предполагаем, что проверка проведена — действительно выпадение каждой из граней равновероятно. Теперь вопрос, какова вероятность того, что за шесть бросков хотя бы один раз мы выкинем шестёрку?

Интуиция даёт ложный ответ: вероятность — единица. И понять ложность этого ответа довольно легко: достаточно представить, что мы кинули кубик не шесть, а семь раз — в этом случае наш метод подсчёта вероятности путём их простого суммирования даст 7/6, что противоречит определению вероятности (вероятность — это число от нуля до единицы включительно).

В вопросах вероятности и статистики процент таких вот «ложных срабатываний» аномально высок на фоне других, даже сложных областей науки. Ведь там по крайней мере человек интуитивно предполагает, что ответ ему неизвестен, в случае же с вероятностью иллюзия иная: мнимое знание верного ответа.

Как правильно решается эта задача? Для начала дадим краткое определение вероятности.

Вероятность — это отношение количества интересующих нас исходов к общему количеству возможных. То есть, выбрав некоторое подмножество элементов множества, подсчитав их и поделив результат подсчёта на общее количество элементов основного множества, мы узнаем вероятность появления выбранных нами элементов.

Тут возникает первый нюанс: в упрощённом определении предполагается, что каждый элемент множества при случайном их выборе будет встречаться одинаково часто. Чтобы как-то исправить ситуацию, мы можем, например, считать более часто выбираемые элемент не одним элементом, а несколькими — пропорционально частоте их появления к некоторой «эталонной» (той, которую мы примем за единицу).

Но в любом случае, вероятность — это характеристика не явления, а нашей модели явления. Это надо хорошо помнить. Некоторый подсчёт вероятности осмысленен только в том случае, когда мы выведенную из модели вероятность, проверили некоторой серией экспериментов, собрав на них статистику. В случае совпадения (в пределах допустимой для нас точности) статистики экспериментов и выведенной нами модельной вероятности, мы можем говорить о правильном построении модели.

Отсюда следует, что часто используемое рассуждение вида «событие было невероятно, но произошло» ошибочно по построению. Если событие происходит чаще, чем о то обещает говорит вычисленная нами вероятность, то это не «чудо произошло», а мы вероятностную модель неправильно построили.

Другая распространённая ошибка — делать выводы о «чудесном» по однократно произошедшему «невероятному» событию. Хотя бы потому, что вероятность уже наступившего события по определению равна единице.

Правильно построенная и проверенная статистикой вероятностная модель говорит нам о том, как часто будет встречаться интересующий нас исход при количестве экспериментов, стремящихся к бесконечности. Это — тоже важно, однако мы воспользуемся этим нюансом позже.

А пока всё-таки решим задачу.

Рассмотрим сначала не шесть бросков кубиков, а два. Поскольку исходы равновероятны и броски кубика не связаны, мы можем вычислить общее количество исходов. Их 6 * 6 = 36 (то есть, любое число при первом броске кубика может выпасть вместе с любым числом на втором). Благоприятными для нас исходами будет выпадение шестёрки на одном или на двух бросках. То есть, шестёрка плюс числа от одного до пяти на первом броске (5 исходов), то же самое на втором (ещё пять исходов) и две шестёрки одновременно (1 исход). Итого 11.

Вероятность, таким образом, равна 11/36, что уже отличается от подсказываемой интуицией (1/6 + 1/6 = 2/6 = 12/36). И это правильно: нельзя просто так вот суммировать вероятности.

Рассмотрим однако вероятность противоположного исхода — ни одна из шестёрок не выпала. Она, очевидно, равна разности единицы и вычисленной нами вероятности выпадения как минимум одной шестёрки (поскольку эти два подмножества как раз и составляют полное множество вариантов, следовательно их суммарная вероятность должна равняться единице).

1  - 11/36 = 25/36

Число сразу наводит на подозрения — и в числителе и в знаменателе стоят квадраты натуральных чисел. То есть, это (5/6)2. Почему так?

Это так потому, что расчитанная нами вероятность (невыпадения шестёрки за два эксперимента) действительно равна произведению вероятностей невыпадения шестёрки в каждом из них. Это следует из определения условной вероятности, которое однако мы сейчас разбирать не будем. Просто запомним, что вероятность наступления события A и события B при независимости этих событий равна произведению вероятностей наступления этих событий. Вероятность же невыпадения шестёрки равна количеству нешестёрок на кубике, делённой на количество цифр на нём. То есть, 5/6.

Продолжив ряд произведений вероятностей невыпадения шестёрки до интересующих нас шести бросков, мы получим результат:

5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 = (5/6)6

Мы теперь знаем, с какой вероятностью шестёрка не выпадет ни разу за шесть бросков. Соответственно, выпадет она хоть раз с вероятностью:

1 - (5/6)6

Приведённые рассуждения позволяют нам вычислить и более общий случай: вероятность выпадения шестёрки хотя бы один за n бросков. Она равна:

1 - (5/6)n   (назовём это соотношение «формула 1»)

Ну и до кучи вероятность появления одного из m объектов множества за n попыток:

1 - ((m-1)/m)n

Легко видеть, что зависимость у нас — степенная по отношению к количеству попыток. То есть, в течении первых нескольких попыток вероятность довольно быстро приближается к единице, после чего асимптотически к ней стремится, находясь всё время в непосредственной от неё близости.

Для одного броска кубика, вероятность, как мы помним, 1/6 ≈ 0.17. Для трёх — 0.42. Для шести — 0.67 и так далее.

Какой смысл этих чисел? Смысл их в том, что если мы проведём очень много экспериментов, заключающихся в n-кратном броске кубика (назовём это «серия»), то пропорция тех серий, в которых шестёрка встретилась хотя бы один раз, в отношении к общему количеству серий, будет примерно равна вычисленной нами в «формуле 1» вероятности.

То есть, для серий в шесть бросков, примерно в 67% случаев мы будем получать серию с как минимум одной шестёркой в ней. Причём, в 42% серий шестёрка будет встречаться в числе первых трёх бросков.

И вот на этом-то месте и начинаются рассогласования с интуицией. В наиболее примитивном случае человек ожидает, что шестёрка выпадет на шестой раз, поэтому ему кажется «чудесного везения» выпадение шестёрки на первых трёх бросках. Хотя, как мы уже знаем, 42% попыток будут давать именно такой результат.

Чуть более продвинутый гражданин уверен, что за три броска шестёрка должна выпадать в каждом втором случае (ну раз уж ему кажется, что за шесть бросков вероятность равна единице, то за три броска — наверняка будет одна вторая). Попытавшись считать количество успехов, он с удивлением обнаружит несколько более скромный результат (42% вместо пятидесяти), что, не исключено, отнесёт к «хроническому невезению».

Ещё более интересны подсказываемые интуицией случаи «чудесного везения», когда шестёрка выпадает несколько раз за одну серию. Тут человек обретает веру в свою «лёгкую руку», хотя данный результат — лишь случайное отклонение, вызванное малым количеством экспериментов.

Аналогичный предыдущему, но с обратным знаком, случай — невыпадение шестёрки за шесть бросков. Интуиция-то подсказывает, что за шесть бросков шестёрка уж точно должна выпасть. А она не выпадает — это непер. Причём, непер весьма вероятный: треть серий из шести бросков именно такими и будет — без единой шестёрки. Встреться они три раза подряд (а именно так и получится примерно в 4% случаев) и у несведущих появится повод для объявления себя неудачником.

Причём, всё это — только случаи неправильного вычисления вероятности. Куда более серьёзной является разница в «запоминаемости» исходов.

Человек учится на своих ошибках. И на своих успехах тоже. На некотором этапе обучения ошибок куда как больше, нежели успехов. Однако в такой ситуации успех должен куда сильнее быть отпечатан в сознании, нежели ошибки. Из-за этого, чисто эволюционного явления, люди имеют склонность лучше запоминать тот результат, который они хотели получить. То есть, в длинной серии из большой части неудачных бросков (ошибок) и малой части удачных (успехов) лучше запоминаться будут именно удачные. То есть, человеку будет казаться, что они были аномально часто. Особенно ярко это проявляется при непонимании понятия «вероятность» и, соответственно, неправильной (часто интуитивной) её оценке.

Практически все случаи «ясновидения» базируются именно на вот таком вот принципе (остальные являются просто грамотно или не очень грамотно поставленными фокусами).

Как-то раз я был свидетелем «телепатического эксперимента». Один человек из группы становился к ней спиной, другой участник поднимал левую и правую руку, первый должен был «прочесть мысли» группы, которая в этот момент усиленно «думала о правильной руке», и повторить подъём. После этого первого человека сменяли на другого и праздник продолжался.

Легко догадаться, что вероятность угадывания — одна вторая. Поэтому я сразу спросил, сколько экспериментов ориентировочно планируется провести, и написал на бумажке чисто вероятностное количество угадываний, вместе с доверительным интервалом. После чего принялся считать количество совпадений и количество экспериментов. Само собой, угадал — написанное мной на бумажке число совпало с расхождением на единицу. То есть, моя магия, ха-ха, оказалось сильнее.

Количество угадываний, ясное дело, составляло примерно половину экспериментов, то есть, являлось результатом чисто случайного процесса. Но самое интересное: ни один из участников эксперимента в это не поверил. Всем казалось, что угадывали значительно чаще, нежели ошибались. Ещё бы — совпадение с тем, что ты в данный момент усиленно думаешь, куда как ярче воспринимается, чем «досадная ошибка». Вдобавок экспериментаторы болеют за текущего «телепата», что ещё сильнее усугубляет перекос впечатлений.

«Ясновидящий», например, для своих пророчеств выбирает явление, которое происходит с давно уже подмеченной регулярностью. Например, аварии самолётов. Узнав, сколько самолётов в год терпит аварию, оный «пророк» подбирает частоту оглашения своих пророчеств так, чтобы она несильно отличалась от известной ему частоты. Само собой, авария, по времени примерно совпадающая с написанной в пророчестве, воспринимается обществом, как результат прозрения. СМИ этот эффект подогревают. Если каким-то чудом ясновидящий промазал слишком сильно (аварии ведь не через равные промежутки времени бывают), то результат просто замалчивается. Никакой рекламы, никакого вспланетного осуждения, ничего. Одно только «всем свойственно ошибаться» и «метод, конечно, не абсолютно точный, ведь свобода воли, все дела». В результате складывается иллюзия аномально высокого процента угадываний на фоне их априорной вероятности. Хотя всё «ясновидческое пророчество», собственно, уже содержалось в статистике аварий. «Пророк» привнёс одну только рекламу. Которая на почве безграмотности граждан дала неплохой урожай.

Однако тут описан слишком сложный случай. Обычно всё делается ещё более топорно. Берётся целое множество событий, каждое из которых не особо вероятно, но в совокупности вероятность их весьма высокая. Составляется «пророчество», которое настолько расплывчато, что под него можно притянуть любое событие из выбранного множества, после чего «пророчество» оглашается. Понятно, что если не с первой попытки, то с третьей, «всё сбудется». При мнимой маловероятности конкретной реализации же гражданам кажется, что «это не может быть случайной догадкой». Хотя предсказывалось-то не одно только это событие, а довольно большой их класс. Вероятность реализации одного события из которого совсем даже не мала.

Имеет место быть и «бытовое ясновидение». Основанное, во-первых, на описанных выше неверных оценках вероятности угадать, во-вторых, на разном эмоциональном эффекте от успеха или ошибки, и, в-третьих, что самое главное, на крайне большом количестве экспериментов. Оный «эксперимент» ставят миллиарды людей ежедневно и повторяют их на следующий день. И на следующий. И так далее. При таком наплыве экспериментаторов, даже крайне маловероятное, но возможное событие, хоть кто-то, да предскажет. Из чего, конечно, потом раздувается сенсация локальных, а то и глобальных масштабов.

Как правильно всё это оценивать? Вопрос непростой, но мы на него уже частично ответили. Осталось добавить только одно: способ построения вероятностной модели.

В случае с кубиком априорных знаний нам вполне хватает, чтобы построить вероятностную модель без сбора предварительной статистики. Но такие случаи бывают крайне редко. Обычно детали процесса не известны или известны не целиком. Либо же деталей настолько много, что мы не в состоянии учитывать их все. Собственно, именно для этого все эти вероятностные методы и вводятся: для описания систем, в которых мы видим закономерности, но не в состоянии отследить их на детерминистическом уровне. Если не в состоянии, то хотя бы как-то отследим. Например, вычислим частоту, с которой это явление происходит.

Итак, для начала мы делаем продолжительные наблюдения за явлением, считая при этом количество удачных исходов и общее количество исходов. При достаточно длинной статистике и при наличии, скажем так, некоторой на ней равномерности по отношению к явлению, мы можем принять за вероятность данного явления статистически посчитанную его частоту.

Принятую таким образом вероятность мы проверяем на новых, не учтённых в статистике, по которой строилась вероятность, экспериментах. Если и на них частота благоприятных исходов (X) оказалась достаточно близкой к вероятности, мы считаем вероятность подтверждённой.

Надо понимать, что такое подтверждение — условно. Если вдруг нам массово начнут встречаться достаточно длинные серии экспериментов, на которых частота исхода отличается, то вероятность наша, значит, не годится для их описания. Надо, значит, снова исследовать. Именно исследовать, а не орать на всех углах о чуде.

Пророк, таким образом, только тогда пророк, когда делает серии прогнозов, частота успеха (то есть, правильного предсказания исхода X) на которых отличается от нами подсчитанной вероятности более чем на доверительный интервал в лучшую сторону. Только в таком случае можно утверждать, что его догадки не случайны. В ином случае столь же часто будет догадываться любой, всегда называющий исход X в качестве прогноза. А в ряде случаев — любой, кто делает прогноз случайным образом. Если повышенная частота правильных прогнозов в предсказаниях «пророка» не наблюдается, имеет место быть иллюзия или мошенничество.

Далее. Ни в коем случае нельзя давать оценку частоты успехов без тщательного их фиксирования и последующего подсчёта — психологические факторы и интуиция почти наверняка вас обманут при оценках «навскидку по памяти».

Нельзя делать выводы по короткой серии пар прогноз исхода / реальный исход, даже если на ней успехов очень много — такой результат весьма вероятен даже при абсолютно произвольных прогнозах, при упорном же повторении наиболее вероятного прогноза вероятность короткой серии успехов ещё выше. Тем более, нельзя ориентироваться по единственному успеху.

Статистика начинается с двух экспериментов.

Для любых оценок в обязательном порядке следует считать не только вероятность каждого события множества, но и вероятность успешного предсказания одного из них за первую же попытку и за серию попыток.

Хотя всё это чревато полной утратой веры в чудеса. Не даром «ясновидцы» и «телепаты» так не любят учёных, причём, даже тех, которые изо всех инструментов приносят с собой только ручку и бумажку. Карма учёного, сограждане, она очень, очень сильно вредит всему паранормальному. Буквально-таки на нет его сводит.


"Интуиция даёт ложный ответ: вероятность — единица. И понять ложность этого ответа довольно легко: достаточно представить, что мы кинули кубик не шесть, а семь раз — в этом случае наш метод подсчёта вероятности путём их простого суммирования даст 7/6, что противоречит определению вероятности (вероятность — это число от нуля до единицы включительно)."

Софистика. В первом случае мы проверяем вероятность получения одного исхода из шести, 1/6. В другом случае мы подсчитываем вероятность выполнения гипотезы, там вычисления сложнее. Нет?

Re: Ответ на вашу запись...

Нет, конечно. Формула и принцип вычисления, очевидно, от количества бросков не зависит. От него зависит только некоторая переменная результата.

Столкнулся с этим, когда играл в мморпг. Сколько копий было сломано насчет таинственной вероятности той или иной шмотки из моба)

Корейская статистика?))На клан-пати иногда народу не хватало, и один в пати часто был чужой. Так искомый дроп падал именно ему. Я уж думал механизм дропа такой.

Нет пророка в своём отечестве.

Недоверчивые все стали. Даже в бога не верят. Однако это не помогает от обмана. Обманщик всегда на шаг впереди.

Это у кого какая интуиция.

вероятность "шестерки"= 1 - вероятность "шестерки не будет"

Вероятность "шестерки не будет" для одного броска = 5/6
----------------"-------------- для двух бросков = 5/6 *5/6
..........
----------------"-------------- для шести бросков = 5^6/6^6 = 15625/46654 = 0.334.....

Ответ: 0,665...

ps в справочники не лез, теорвер сильно не вспоминал :-)

интересное размышление. да только вот люди образованно-понимающие и так не верят в этот бред.

ПиЭс: респект за познания в теории вероятности. писал две недели назад экзамен по алгебре/геометрии, вдумывался перечитывая)))

> понять ложность этого ответа довольно легко: достаточно представить,
> что мы кинули кубик не шесть, а семь раз

Класс !!! Обожаю таки маленькие изящные штучки.

(озабоченно) Я педофил ? Фетишист ? ФИЛ-о-СОФ !


Eще удобно знать, что ((n-1)/n)^n->1/e по этому "интуитивно еденичная" вероятность за n испытаний пронаблюдать исход вероятности 1/n ,на самом деле близка к 1-1/e.

Re: Ответ на вашу запись...

Этот метод удобен, но плох тем, что из него неясно, откуда эта величина берётся.

> Карма учёного, сограждане, она очень, очень сильно вредит всему паранормальному.

У ученых свои чудеса, научные :-)

http://miteigi-nemoto.livejournal.com/78007.html?thread=63927#t63927

:^) Вот вам для коллекции.

Я как-то не поленился и прочёл целую книжку, посвящённую экспериментам по всякой телепатологии. Там авторы описывали опыты, в которых оператор силой мысли влиял на датчик случайных чисел. Причём в одном случае брали датчик на основе дробового шума, а в другом генератор псевдослучайных чисел (тут выход полностью детерминирован начальными данными). Что характерно, некоторые операторы одинаково успешно (но слабо) влияли и на то, и на другое. Авторы сделали из этого глубокомысленные выводы о том, что влияние идёт не на физический процесс, а на информационный. Что это значит они так и не объяснили.
Книжка "Границы реальности" Р.Г.Джан, Б.Дж.Данн.
Опыты делались в Лаборатории изучения аномальных явления Школы инженерных наук Принстонского университета

Re: :^) Вот вам для коллекции.

Очень интересно бы узнать, что авторы понимают под "слабым влиянием" на псевдослучайное значение? Ведь псевдослучайная последовательность - это, например, взятая наугад последовательность цифр числа "Пи". Что, испытуемые на это могли "слабо" повлиять?

Всё хорошо и правильно. Только оговорок лучше не допускать. "Вероятность уже наступившего события по определению равна единице" - нельзя так говорить, потому что "статистика начинается с двух экспериментов".

Да и вообще, понятие вероятности физически применимо только к будущим событиям.

Re: Ответ на вашу запись...

> Всё хорошо и правильно. Только оговорок лучше не допускать. "Вероятность уже наступившего события по определению равна единице" - нельзя так говорить, потому что "статистика начинается с двух экспериментов".

Статистика — с двух. А вероятность — с нуля. Поскольку она — характеристика модели явления, а не самого явления.


> Да и вообще, понятие вероятности физически применимо только к будущим
> событиям.


Вероятность не применима к событиям. Вообще. К ним применима только статистика. А вероятность применима к _прогнозам_ событий. Соответственно, прогноз уже произошедшего события говорит о том, что событие уже произошло.

Небольшое дополнение, мне часто задают вопрос - а с чего мы взяли, что вероятность выпадения шестерки - 1/6.
Ответ - ниоткуда, для любого реального кубика точное значение вероятности можно установить только чудовищно большим числом бросков, к тому же эта вероятность скорее всего не будет равна 1/6. Но в мысленном эксперименте мы предполагаем вероятность равной 1/6 в силу существования только шести возможных исходов, не имеющих никаких преимущество друг над другом, и сумма вероятностей которых по определению равна единице.

Извиняюсь, если говорю очевидные вещи.

Re: Ответ на вашу запись...

> Ответ - ниоткуда, для любого реального
> кубика точное значение вероятности
> можно установить только чудовищно
> большим числом бросков,

В статье про это написано. В середине второй части примерно.

> к тому же эта
> вероятность скорее всего не будет равна
> 1/6.

Не вероятность — частота. Многие путают.

Мужики, давно мучаюсь, может кто подскажет:
1) игра "наперстки";
2) вероятность выигрыша 1/3, при выигрыше игрок получает двойную ставку (т.е. за саму игру "казино" денег не берет);
3) посчитав вероятности проигрыша 1-(2/3)^n можно посчитать вероятность n "негативных исходов игры" - не ваш стакан. Задав некторое n, например 10 негативных исходов подряд (потом ставка возвращается к начальной), начинаем играть, ставя до выигрыша всегда на один и тот же стакан. Вероятность 10 "невыигрышей" = 1,7% (хотя она тут и не важна). При игре с отсутствием априорной информации - это игра с "нулевым выигрышем", т.е. сумма_по_i(вероятность_i_выигрыша) х (i_выигрыш) - (вероятность проигрыша_на_10_шаге) x (сумма_ставка_от_1_до_10) = 0;
4) Однако, игрок может следить за игрой и после каждого выигрыша менять стакан. Интуиция подсказывает, что раз при этом количество негативных исходов в стаканах 2 и 3 увеличилось на 1, то и матожидание должно измениться.
Вопрос: поменяется ли реально "матожидание" выигрыша и если да, то как?

Странный вопрос. Если шарик попадает под стакан случайным образом (или выбор происходит случайным образом, что одно и то же) и игра ведется честно, то матожидание выигрыша - (2/3)^n, т.е. в пределе 0. Если ситуация неслучайная - тогда тервер тут вообще ни при чем.

(Удалённый комментарий)
В ошибочности неправильного метода в начале статьи легко убедить взяв вместо 6-ти гранного кубика — монету. Следуя той же логике вероятность выпадения орла, например, равна еденице уже со второго раза. А на практике она 75%. (Первый бросок -- 50%, второй - 75%, третий - 87,5% и так далее)

> Встреться они три раза подряд (а именно так и получится примерно в 4% случаев) и у несведущих появится повод для объявления себя неудачником.

А что такое "неудача", как не то, что ты попал в 4%, а не в 67%?

Re: Ответ на вашу запись...

> А что такое "неудача", как не то, что ты попал в 4%, а не в 67%?

Неудача, очевидно, это когда ты в длинной серии регулярно в 4% попадаешь. Или когда при первой же попытке ты поставил всё своё состояние и проиграл его.

Хотя, есть мнение, что в последнем случае правильное название не «неудачник», а «дебил».

Стоило бы упомянуть, что это определение вероятности на пальцах. Строгое задается колмогоровской аксиоматикой, через понятие вероятностного пространства.

Это следует из определения условной вероятности, которое однако мы сейчас разбирать не будем.
Условная вероятность тут ни при чем, здесь просто вероятность объединения двух независимых событий (т.е. только числитель из формулы условной вероятности, причем независимость существенна).

рассуждение вида «событие было невероятно, но произошло» ошибочно по построению
В теории вероятностей разделяют понятия невероятного и невозможного события. Невероятное событие это множество меры ноль, а невозможное — вообще не содержит элементарных исходов. Хрестоматийный пример: бросание точки на плоскость — вероятность выпадения на каждую точку плоскости равна 0 (событие невероятно), но на какую-то из них точка непременно упадет (но произошло).

частота успеха (то есть, правильного предсказания исхода X) на которых отличается от нами подсчитанной вероятности более чем на доверительный интервал в лучшую сторону.
В физике элементарных частиц, например, хорошим результатом считается 3σ, а достоверным 5σ

Re: Ответ на вашу запись...

> Строгое задается колмогоровской аксиоматикой, через понятие вероятностного пространства.

Тут ему самое место. Все сразу всё поймут :)


> Условная вероятность тут ни при чем, здесь просто
> вероятность объединения двух независимых событий

Частный случай условной.


> В теории вероятностей разделяют понятия невероятного и
> невозможного события.

В данном случае — один хрен. Чуда нет. Есть либо «везение», либо неправильно построенная вероятностная модель.

?

Log in

No account? Create an account