May 17th, 2021

Существует принципиально непознаваемое

В теории множеств полагается, что нечто, называемое «бесконечными множествами», вполне может целиком поддерживать те же операции, что и конечные множества. В частности, операции «объединения», «дополнения» и «пересечения» для них непротиворечиво определены, причём ровно теми же словами, что и для множеств конечных.

Так, например, дополнение множества A до множества B — это такое множество, которое содержит все элементы B, которых нет в A.

Вот с этого момента я и начну отличный фокус, который приведёт нас к суждению, в ином случае однозначно отвергнутому бы по причине своей вопиющей абсурдности.

Для начала построим множество P следующим способом.

Возьмём какое-то иррациональное число и извлечём из него сколько-то цифр. Например, столько, сколько нам «скажет» его последняя цифра перед точкой (здесь и в дальнейшем мы будем считать, что цифра 0 «говорит» нам извлечь одну цифру, как и цифра 1).

Collapse )

Четыре третьих пива

Вы наверно со школы знаете, что есть числа, в десятичной записи которых бесконечно много цифр, однако некоторые из них столь хороши, что с какого-то момента некоторая последовательность цифр в них начинает до бесконечности повторяться, а потому для такого случая даже есть особая запись вида «0,(3)», то есть, «сначала 0, потом запятая, а потом до бесконечности повторяются тройки».

Кроме того, есть что-то типа условного соглашения: если повторяются строго девятки, то данное число следует считать альтернативной записью «соседней» конечной, которая без девяток.

То есть вроде как «0,(9)» — то же самое, что «1», только записано по-другому.

Почему это «условное соглашение», а не «закономерность»?

Хотя бы уже потому, что обсуждение этой как бы «закономерности» — одна из дисциплин специальной олимпиады. То есть оно вызывает сомнения у огромного количества людей, включая целый ряд математиков, а согласно англоязычной Википедии копья по этому поводу ломаются даже на форумах «World of Warcraft». Такое, разумеется, весьма странно для «принятого всеми и безупречно доказанного».

Collapse )