December 13th, 2020

Херота обобщений

Отдельно и специально на аналогии поясню, почему формулировка теоремы Гёделя — херота. Почему так нельзя формулировать, если твоя цель — чего-то добавить к системе знаний, а не дезинформировать широкие массы и тем прославиться.

Предположим, есть какой-то автор, который чей-то там потомок, а потому имеет фамильный герб. На гербе написан девиз «Зоркей как арёл!», потому что герб придумал кто-то не особо грамотный, или же потому, что язык с тех пор изменился.

Автор по каким-то своим соображениям чтит предков и по этой причине лепит этот герб в начале каждой своей книги на титульную страницу.

В гербе, очевидно, есть ошибка и даже две, которые давно уже кто-то заметил и показал всему миру.

Однако заметивший сформулировал это не в форме «в гербе, который автор размещает в каждой книге, есть две орфографических ошибки», а в форме «в каждой книге автора есть ошибки».

Формально это — чистая правда. Ошибки правда есть: в девизе на гербе. Они — орфографические, однако орфографические ошибки — тоже ошибки. Как бы «доказавший теорему» имеет право сказать и вот так тоже.

Но в результате 99,999% слышавших об этой «теореме» уверены, что сабжевый автор вообще полный лох — никаким его рассуждениям нельзя верить, да и в книгах в целом написана полная ерунда: эвон как — в каждой книге у него есть ошибки. В каждой! Ошибки!

Содержание книг к гербу вообще не относится, никаких выводов из девиза автор никогда не делает, про герб честно говорит: «это чисто в память о предках», — но «у нас тут точная наука», фигле. «Учёные доказали, что…» и всё такое.

Вот так же и с теоремой Гёделя: существование единственного синтетического суждения, смело отнесённого ко «всем формальным теориям», благодаря формулировке превратилось во «все непротиворечивые теории неполны». Но формально-то всё как бы «честно», да.

Хлеб математиков

Что ещё интересно про теорему Гёделя — это контекст, в котором она появилась и против чего она использовалась, как аргумент.

Дело в том, что в 1920-х компьютеры уже маячили на горизонте. В том смысле, что, несмотря на некоторое количество уже созданных счётных машин, они всё ещё оставались фантазией — хрен знает, какими свойствами оная будет обладать. Однако сия фантазия была уже сродни фантазиям 1950-х о полётах в космос: тоже ещё неясно во всех деталях, как оно там будет, но при этом уже ясно, что оно точно возможно, а потому точно как-то будет, причём совсем скоро.

Под этим соусом, разумеется, увлечённые вопросом строили планы и проекты, как эту штуку, которой ещё нет, но которая уже вот-вот, приспособить к народному хозяйству, под коим понималась в основном математика (ну да, машина же — «счётная», а считают — в математике, как ещё-то?).

В результате, у математика Гильберта и ряда его коллег возникла отличная идея.

Машина не устаёт и не ошибается, поэтому мы сделаем с её помощью то, на что у человеков сил не хватает. А именно сформулируем все базовые положения математики и логики в виде некоторого набора аксиом, представляющих из себя правила замены фрагмента формального текстового выражения на какой-то другой фрагмент. И потом запустим полный перебор.

Collapse )