March 26th, 2010

Трактат о своих, чужих и предателях

Часть 1: Априорное и апостериорное



Вообще говоря, пост про смысл фильма «Аватар» был про смысл фильма «Аватар»: предательство в нём обсуждалось, только по причине присутствия в сюжете (и связи с ним). Однако эта тема, по-видимому, сильно занимает население и под воздействием диалогов с населением у меня возник набор связанных с темой мыслей, которые изначально не были изложены. Мысли уже менее привязаны к сюжету фильма, зато более привязаны к философии, истории человечества и морали.

Итак, начну с примера. Пример, казалось бы, никак с темой не связан. Тем не менее, он иллюстрирует один важный для понимания нюанс.

Есть у нас мешок с шариками. Которые именно шарики лежат в мешке, мы без понятия. Мы суём в мешок руку и вытаскиваем шарик. Шарик — белый. Вытаскиваем второй — белый. Третий — белый. Сотый, тысячный — сплошняком белые. На каком-то этапе мы говорим «в мешке лежат одни только белые шарики». Что означает эта фраза? Ладно, ответ пока пропустим. Вместо этого продолжим мысленный эксперимент.

Когда всем уже давно известно, что в мешке лежат белые шарики, мы неожиданно вытаскиваем чёрный. Быть может, — первая мысль, — зрение нас обмануло? Нет, смотрим ещё раз, спрашиваем соседа, замеряем приборами — точно чёрный. Но ядрён батон, в мешке же белые шарики! Не назвать ли нам этот шарик «белым»? Не ввести ли дополнение: если из мешка с белыми шариками вытащен чёрный, то следует считать его белым? Обычно так не делают. Шарик — чёрный. Тогда что, изначальное заключение было неверным? Быть может, не стоит нам такого рода заключения выносить? Для надёжности хоть с миллиардом белых шариков, всё равно не говорить «все шарики, как видно, белые»?

В мире встречаются оба варианта. Не с шариками и мешком, но в аналогичных ситуациях. Одни говорят «оно — белое, хоть и выглядит чёрным», другие «мы ничего не знаем и никаких суждений вводить не можем, а то вдруг». Которые говорят правильно? Ни те, ни те.

Правильный вариант вот он: «в мешке только белые шарики» — предположение. И хотя оно основано на серии экспериментов, оно всё равно остаётся предположением. Его смысл: согласно нашим знаниям, нам следует ожидать, что и следующий шарик будет белым. Это более вероятно. Это наш априорный вывод о результатах. Попытка их предсказать. Практика показывает, что лучшие результаты достигаются всё-таки в том случае, когда предварительные выводы об исходе делаются на основании некоторого эмпирического (основанного на эксперименте) знания. Грубо говоря, если бы нам платили рубль за правильно угаданный шарик, мы бы набрали больше денег, если бы каждый раз говорили «будет белый». Предположение, таким образом, было верное на тот момент. «Все шарики — белые» это самое простое объяснение из соответствующих проделанным опытам.

Статистика успехов — это отношение некоторого подмножества исходов к полному их множеству.
Вероятность успеха — это априорная оценка будущей статистики успехов, основанная на имеющихся знаниях.

Они могут не совпасть, однако при этом они обе могут быть верны. Первая верна в случае отсутствия ошибок в подсчётах, вторая — в случае корректности анализа знаний и оценок. Несовпадение же их есть результат недостаточного количества знаний на момент оценки. Однако правильно подсчитанная вероятность — лучшая оценка из тех, что мы могли дать в рамках имеющегося у нас багажа знаний.

Вдумчивое изучение этой пары абзацев и последовавшее за ним глубокое понимание написанного может существенно облегчить вам жизнь.


Collapse )


Трактат, по ходу, будет длинным. Это — первая часть. В дальнейшем будет ещё много всего, что я уже обдумал, но не успел записать. Поэтому не надо спрашивать: «а чего это тут вот про это не написано?»


Другие главы трактата

Кой-чего про формальную логику и научный метод

Зашёл тут разговор про пример с шариками. А именно, какое суждение мы должны вынести, если много-много раз мы вытаскивали шарики из мешка и всё время они оказывались белыми.

Формальная логика подсказывает нам вариант: «в мешке есть белые шарики». Или «были» — если мы не возвращаем вытащенные шарики обратно.

Второй, естественнонаучный вариант: «в мешке все шарики белые».

Который правильный? А это зависит от нашей цели. Если цель вынести верное во всех возможных случаях суждение — правильный тот, который из формальной логики. Действительно, неожиданно вытащенный из мешка чёрный шарик всё равно не сделает суждение неверным.

Однако на практике нам не надо верное во всех случаях суждение. Нам надо суждение, обладающее наибольшей предсказательной силой. Что это означает? Это означает, что если бы мы играли в некую игру, где за правильный прогноз нам дают призовые баллы, а за неправильный их отнимают, то следующая из суждения стратегия принесла бы нам как можно больше баллов. Научные суждения (теории) должны соответствовать как раз такому критерию.

Именно по этой причине мы используем второй вариант: он даёт нам наибольший выигрыш в каждой отдельной игре. Но тут тонкость. Почему выигрыш наибольший во втором случае? Объясняю. Первый вариант подразумевает, что могут быть и не белые шарики. Что это нам даёт в плане стратегии? Как максимум возможность при угадывании следующего вытащенного шарика вместо «будет белый» говорить «будет не белый». В ином случае мы будем ровно так же всегда говорить «будет белый», как и при втором суждении, что сделает гипотезу о существовании не белых шариков излишней — на одну гипотезу больше, а стратегия та же.

Для определённости в мешке 99 белых шариков и один чёрный. Вытаскиваем без возврата. При регулярном ответе «будет белый» мы гарантированно угадаем в 99 случаев из ста. Если же мы, например, будем один раз ответим «будет чёрный», то с большой вероятностью (99/100) выиграем только в 98-и случаях (не угадав один из белых и один чёрный) и с малой вероятностью (1/99) выиграем в ста случаях. Понятно, что для малого числа игр мы скорее всего выиграем меньше, чем при регулярном ответе «будет белый».

Вывод становится особенно очевидным, если взять соотношение, например, 999 999 999 белых и один чёрный. Тут шансы на выигрыш в каждой отдельной игре цвета всех шариков очевидно мизерные и нас почти наверняка ожидает 999 999 998 угадываний.

Более точный, формальнологический вариант при большом количестве игр будет нам давать 98 баллов в 99 играх и 100 — в одной. Что даст средний выигрыш порядка 98.02 за игру против 99 при естественнонаучной стратегии.

На практике мы через некоторое время и так уже будем обладать некоторым количеством новых знаний (просто потому, что проводим эксперименты) — это позволит нам скорректировать стратегию. Отсюда и вытекает практическое превосходство второго, «категоричного» варианта над первым. Само собой, если с самого начала он даст сбой, мы его пересмотрим, но до сбоя, априорно этот вариант — наилучший.

Осторожность не всегда свидетельство мудрости.

Данный пример иллюстрирует один важный тезис: формальная логика предназначена для операций с суждениями, а не анализа явлений. Иногда с анализом явлений её методы тоже работают, но, как показывает пример, не всегда. Аксиомы и теоремы связываются между собой формальной логикой, поскольку они — суждения, однако явления не следует связывать между собой этим способом. Для анализа явлений используются другие методы.