April 8th, 2008

Логика, научный метод и шарики

 

Во первы́х строках моего послания сообщу о двух основных методах производства выводов из некоторого набора положений. Но ещё первее пойдут ценные сведения о множествах. Точнее, одно сведение. Множества могут включаться друг в друга. Они ещё могут пересекаться, не пересекаться, быть нулевыми, совпадать и так далее, однако же это к делу не относятся. Достаточно включения. Так вот, первое множество включает второе, когда все элементы второго множества являются элементами первого.

Из чего проистекает два наиболее вероятных маршрута рассуждений. В первом случае мы, располагая сведениями о множестве, делаем выводы о другом множестве, которое в первое множество включается. Такой метод называется дедукция. Во втором – выводы делаются о множестве, которое включает в себя первое. Это – индукция.

Первое, что после таких слов приходит на ум, сразу после Шерлока Холмса, – это математика. Там подобные методы сплошь и рядом. Например, все элементы множества натуральных чисел по определению больше минус единицы. Отсюда мы можем дедуктивно вывести, что натуральное число «два» больше минус единицы, поскольку оно является частным случаем множества натуральных чисел. И множество чисел, равных двум, состоящее из одного элемента, включается в множество натуральных чисел. Которые все больше минус единицы. В общем, всё просто.

С индукцией сложнее, но тоже понятно. Её смысл такой: берём некоторую последовательность с целью доказать, что на ней выполняется некоторая закономерность. Проверяем выполнение этой закономерности для первого элемента. Если сработало, то предполагаем, что для n-ного элемента закономерность выполняется. После этого проверяем, будет ли она выполняться для (n+1)-го элемента при таком предположении. Если будет, то всё нормально. Всё доказано.

Вот пример: надо доказать что квадрат любого натурального числа не меньше этого числа. Проверяем для единицы: (1*1 = 1) >= 1. Выполнено. Теперь предполагаем, что n*n >= n. В этом разрезе смотрим на n+1:

 

(n + 1)*(n + 1) = n*n + 2*n + 1.

 

Как мы предположили, n*n >= n. Однако мы знаем, что 2*n + 1 >= 1 (поскольку 2*n – неотрицательное число). Отсюда следует, что наше выражение больше или равно n+1. То есть, для n+1 закономерность выполняется. То есть, всё конкретно доказали.

Следует отметить, что в математике и дедукция, и индукция дают совершенно точные доказательства (обоснования сего факта выходят за рамки данной статьи). То есть, если ими доказано, то вообще доказано, и никаких вам тут вариантов. В естественных науках всё, увы, не так.

В естественных науках однозначным доказательством является только дедукция. То есть, если мы вывели некоторую закономерность для множества, то она будет верна и для любого его подмножества тоже. Тут имеется некоторый подвох: данное утверждение не означает, что закономерность для подмножества верна во вселенском абсолюте - с точки зрения дедукции закономерность для подмножества верна при условии, что она верна и для его родительского множества тоже. Обратно же: если на подмножестве закономерность не верна, то она не верна и на родительском множестве. С чем связано ценное правило: единственный контрпример опровергает общее утверждение.

Так, из утверждения «все сто коров в нашем стаде – белые» можно сделать вывод: если мы возьмём десять коров из этого стада, то они тоже все будут белыми. Если вдруг обнаружилось, что среди взятых нами коров затесалась чёрная, то либо не все сто коров в том стаде были белыми, либо эта корова – вообще приблудная, и нам скоро отвинтит голову её хозяин.

Collapse )