Главное, чтобы он не успел врезать дуба до выборов. Я просто хочу на это посмотреть: как по по другую сторону планеты от стремительно скатывающейся в микс звериного капитализма с посконной домотканностью некогда социалистической России будут хотя бы некоторое время располагаться США с президентом–коммунистом во главе. Хотя бы чтобы немножко. Чтобы потом я мог говорить, что в разные моменты жизни лично повидал мир перевёрнутым в обе стороны.
А да, если вам вдруг кажется, что он не коммунист, а «демократический социалист», то вынужден сообщить, что вот такие-то и есть настоящие коммунисты, а вовсе не те, кто мечтает построить мракобесную монархию под красным флагом.
Взяли мы первую строку и поменяли первую её цифру с целью сконструировать «неуместное число». В этот момент мы уже знаем, что должно быть ещё девять строк, в которых стоят числа с одной цифрой после запятой, но уже с какой-то другой.
Взяли вторую строку, поменяли вторую цифру, добавили к «неуместному числу». На этот момент мы знаем, что должно быть ещё 98 восемь строк с числами, у которых не более двух цифр.
К третьей строке мы уже будем знать про 997 других чисел.
К четвёртой — про 9996.
То есть каждый раз «где-то дальше» в обязательном порядке должны быть строки с числами, у которых цифр не больше, чем мы уже сгенерировали для «неуместного числа». Причём их количество не сокращается, а растёт по экспоненте.
Каким образом тогда можно даже чисто гипотетически представить, что мы закончили записывать это число и ровно на этом месте гипотетически закончился список чисел? Ведь для этого надо каким-то образом «сократить разрыв до нуля», но для его сокращения нет никаких причин — он только растёт, причём с ускорением.
Таким образом, мы представляем, что закономерность «не подходит для данной строки» в «гипотетической бесконечности» всё ещё будет выполняться, однако вот эта вот закономерность: «дальше в таблице должен быть стремительно нарастающий охулиард строк», — почему-то прекратит.
Аналогом этого процесса — если он вдруг показался слишком замутным — было бы вот что: у нас с одного и того же места стартовали две ракеты. Первая летит с постоянной скоростью, а вторая — с положительным ускорением. Она, ясен перец, за каждую единицу времени всё сильнее и сильнее отдаляется от первой, причём за каждую следующую единицу времени прирост расстояния между ними больше, чем за предыдущую. Но мы при этом почему-то представляем, что в «гипотетической бесконечности» они финишировали одновременно, объясняя это тем, что «вот такая она нетривиальная, эта наша бесконечность».
То ли задача, то ли фокус, но скорее и то, и другое вместе.
Выходите вы, положим, на сцену перед лекцией про математику и говорите: «рассмотрим последовательность 1, 2, 3, 4 и так далее до какого-то n. Так вот, вы мне назовёте произвольное положительное n, скажем, от 100 до 200, а я скажу, есть ли в этой последовательности такие три числа, что их произведение равно сумме всех оставшихся».
Что характерно, если знать как, то всё это правда можно назвать. Причём за несколько секунд, вычислив всё это в уме (если, конечно, кто-то, презрев ваши рекомендации, не назовёт вам число из тридцати знаков, на котором в уме только самые талантливые не собьются), тогда как интуитивно кажется, будто бы возможных троек в любой такой последовательности слишком много, чтобы даже вдесятером с калькулятором с этими перемножениями и суммированиями за разумное время управиться, и при этом ещё нигде не сбиться, точно определив, есть ли такая тройка, и кто она такая.
Быть может, поначалу всё выглядит так, будто бы мы имеем дело с чем-то очень сложным, что не то, что вывести, а даже понять может далеко не каждый. Даже как к этому подступиться может быть не сразу понятно. Но зато потом начнёт казаться, что, напротив, тут всё вообще лежало на поверхности. Занимательный такой переход.
И вот в чём суть очередного чит-кода от реальности. Во-первых, такая тройка правда всегда есть, если n больше четырёх (что мы докажем в процессе). Во-вторых, одно из таких чисел гарантированно — 1.
В те времена, когда Железный Занавес уже трещал по швам, героиня нашего повествования — да-да, та самая женщина, благодаря которой к «стандартной модели» в физике добавилась «стандартная модель» в философии науки, политической философии и философии вообще — входила в возраст самостоятельности.
Впрочем, мы слукавим, если скажем, что до того она была не самостоятельной — напротив, с самого детства всех окружающих поражала смелость и оригинальность её мышления, равно как и способность со всем справляться своими силами. О нет, совершеннолетие даровало ей лишь юридическую самостоятельность: официальное право решать за себя. И хотя трещины Занавеса всё ещё хищно блестели острыми, как бритва, краями, она была в числе первых, успешно выбравшихся сквозь них за его пределы с целью осесть на более перспективных почвах.
Впрочем, хотя нашу героиню манил настоящий Запад, тамошние бюрократы упорно отказывались её туда впускать, видимо, подозревая в молодой и амбициозной девушке не будущего корифея политики и философии, а женщину лёгкого поведения. По этой причине, к сожалению, пришлось менять советскую республику, название которой Софья Палкина сейчас предпочитает не упоминать, на маленькую страну Восточной Европы, которая тоже сейчас предпочитает, чтобы её не упоминали.
Американизировав, первым делом, своё имя, Софи зарегистрировала, названную в честь себя, фирму «Sophi Stick Consulting» и тут же приступила к реализации давно уже задуманного. Настолько давно, что издуманно оно было уже вдоль и поперёк.
В своей родной бывшей советской республике ещё девочкой она с бесконечным интересом смотрела на то, как всходят ростки свободы, выражавшиеся в создании бизнесов и партий, альтернативных правящей коммунистической. В то время, как бизнесмены поливали друг друга из автоматов, лидеры партий поливали друг друга в средствах массовой информации, а поскольку в те времена ещё считалось, что у партии должно быть не только желание лично занять место близ главной кнопки распределения благ, но и какая-то программа, поводом для риторической пальбы зачастую выступало что-то, в ней записанное.
Это вроде как дополнительные мысли, которые мне пришли уже после публикации предыдущей статьи, поэтому для понимания контекста этой и её нюансов в обязательном порядке следует целиком прочитать статью «Диагональный аргумент и бесконечные множества», поскольку содержание данной статьи плотно с ней связано и при этом не содержит тех разъяснений, которые уже есть в той, хотя на них ссылается.
Бесконечная сортировка
Ещё одним интересным способом «доказать» неравенство мощностей множеств натуральных и рациональных чисел, является следующая доработка «диагонального аргумента».
Предположим, как и раньше, что мы выписали в бесконечную таблицу все рациональные числа, добив те из них, у которых десятичная часть конечна, нулями до бесконечности.
Теперь запомним какую-нибудь бесконечную (и пусть даже бесконечно повторяющуюся) последовательность цифр, соответствующую (или «равную», если считать допустимым приравнивание одного к другому) дробной десятичной части простой дроби.
Каждый раз удивляюсь наивности людей, уверенных, что автор только что написанной статьи не сможет понять по их словам, читали ли они эту статью.
Им всё время кажется, что если они просмотрели оглавление и несколько абзацев наугад, то всё, запалить их невозможно. Даже если они напишут «а в статье ничего не сказано про Икс!», то автор, который три дня назад в этой статье нафигарил про Икс десять страниц, их не заподозрит.
Чую, именно они в вузах искренне недоумевали, как же это так им не удалось успешно сдать реферат преподавателю, который сам же его когда-то и написал.
Для самых нетерпеливых, краткое содержание статьи:
1. «Диагональный аргумент» — не аргумент.
2. Если взять аксиомы с внутренним противоречием, то потом можно доказать, что угодно.
3. Актуальная бесконечность сосёт.
Диагональный аргумент и бесконечные множества
Математика — очень полезная для человеческой практики наука. Довольно тяжело найти ту научную или инженерную область, для которой бы не было одного или нескольких разделов математики, способных оказать оной существенную помощь.
Однако математика ценится не только за это. Ещё она — отличный способ упражнять ум, думать о странном, заглядывать в те уголки абстрактных закономерностей, куда даже додуматься заглянуть обычно весьма непросто.
Одна из наиболее интригующих областей математики — размышления о «бесконечном». Как описать то, что принципиально нельзя посмотреть целиком? Как рассуждать об этом, не плодя противоречий?
Или как, например, соизмерить одно бесконечное с другим бесконечным? Осмысленна ли вообще такая процедура?
Согласно теории множеств Кантора, осмысленна. Но почему при попытках осмыслять по заданным Кантором канонам ситуация не проясняется, а лишь запутывается? Вполне вероятно, если попытки продвинуться в некоторой области напоминают прогулку по минному полю, где-то в методах продвижения сокрыты принципиальные ошибки. И даже если эту область пытались исправить несколько веков, эти принципиальные ошибки могли частично остаться, до сих пор подталкивая касающихся этой области к неверным выводам.
Есть у нас герметичный сосуд с газом и кипятильник на батарейках. Кипятильник можно разместить где-то в сосуде, а сосуд потом вывезут в глубокий космос и добьются того, чтобы он в какой-то инерциальной системе отсчёта оказался неподвижным. После этого кипятильник нам трогать уже нельзя — мы можем только включить его при помощи дистанционного управления.
Внимание, вопрос, можно ли так разместить кипятильник внутри сосуда, чтобы сосуд после включения кипятильника сдвинулся хотя бы на чуть-чуть — в той системе, где его до включения кипятильника сделали неподвижным? И если да, то где надо разместить кипятильник?
Я, кстати, поразмыслил над эффектом в предыдущей заметке, заключающемся в том, что заметное количество людей вошло в ступор на фразе про изменяющееся гравитационное поле.
На сто процентов не уверен, пока ещё, но один из комментариев меня навёл на гипотезу, которая кажется мне весьма вероятной.
Видимо, часть людей во фразе «из-за того, что гравитационное поле убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра масс», интуитивно делает ударение на «квадрат расстояния». Причём ударение столь сильное, что при этом для них теряется ключевая часть данной фразы «от центра масс».
Далее, когда речь — в статье и в комментах — снова заходит о переменности гравитационного поля, «квадрата расстояния» уже не фигурирует, но, то ли первая встреча с данной фразой оказалась слишком запоминающейся (маловероятно), то ли в голове с самого начала присутствует определённая картинка, которая мешает пониманию того, о чём идёт речь.
Опять же, повторюсь, на сто процентов не уверен, но есть серьёзные подозрения, что, представляя себе ситуацию, люди мысленно рисуют что-то типа такого.
Сейчас есть такая модная тема — отрицание гравитации. Там, если тему понимаешь, прямо кунсткамера — настолько клёвых ментальных уродцев люди порождают. Или, быть может, прямо стендап, поскольку очень смешно.
Кто-то, например, утверждает, что про разрыв космических тел гравитацией учёные всё врут: он формулу закона всемирного тяготения посмотрел, нет там никакой «силы разрыва».
Ну и вообще, люди с низа Земли не падают — и где эта ваша «гравитация»?
Какова же тогда альтернатива? О. Альтернатива — архимедова выталкивающая сила. Она, значить, более лёгкие тела выталкивает вверх, из-за чего кажется, что более тяжёлые, значить, падают.
Однако вот в чём тут парадокс. Я много раз наблюдал, как люди спорят по этому поводу, «отстаивая настоящую физику», и почти каждый раз ловил себя на мысли, что у борцов с гравитацией, разумеется, ошибки на поверхности, но они всё равно в некотором смысле больше физики, чем те, кто с ними спорит. Поскольку, да, борцы сумели как-то почти целиком пропустить последние несколько тысяч лет развития оной, но при этом хотя бы интуитивно понимают, что является «теорией» и «объяснением», а борцы с борцами при этом пропустили всё совсем целиком.
